Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2628 / 3652
↖ ↑ ↗
← S 80.238500°
E 50.976563°		 ← 1 656.98 m → S 80.238500°
E 51.064453°		 →
↑
1 655.76 m
↓
↑
1 655.76 m
↓
S 80.253391°
E 50.976563°		 ← 1 654.48 m →
2 741 493 m²		 S 80.253391°
E 51.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6417236328125 y=0.8917236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6417236328125 × 212)
    floor (0.6417236328125 × 4096)
    floor (2628.5)     		tx = 2628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8917236328125 × 212)
    floor (0.8917236328125 × 4096)
    floor (3652.5)     		ty = 3652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2628 / 3652 ti = "12/2628/3652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2628/3652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2628 ÷ 212
    2628 ÷ 4096     		x = 0.6416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3652 ÷ 212
    3652 ÷ 4096     		y = 0.8916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6416015625 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.88970886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8916015625 × 2 - 1) × π
    -0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88970886} λ = 0.88970886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46050518369824))-π/2
    2×atan(0.085391801522948)-π/2
    2×0.0851851527048376-π/2
    0.170370305409675-1.57079632675     		φ = -1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88970886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.976563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2628 KachelY 3652 0.88970886 -1.40042602 50.976563 -80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 2629 KachelY 3652 0.89124284 -1.40042602 51.064453 -80.238500
    Unten links KachelX 2628 KachelY + 1 3653 0.88970886 -1.40068591 50.976563 -80.253391
    Unten rechts KachelX + 1 2629 KachelY + 1 3653 0.89124284 -1.40068591 51.064453 -80.253391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40042602--1.40068591) × R
    0.000259889999999929 × 6371000     		dl = 1655.75918999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40042602--1.40068591) × R
    0.000259889999999929 × 6371000     		dr = 1655.75918999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88970886-0.89124284) × cos(-1.40042602) × R
    0.00153397999999993 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 1656.98354811924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88970886-0.89124284) × cos(-1.40068591) × R
    0.00153397999999993 × 0.169291173146512 × 6371000     		du = 1654.48036327324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40042602)-sin(-1.40068591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.169291173146512)×R²
    abs(0.89124284-0.88970886)×0.000256133048532253×R²
    0.00153397999999993×0.000256133048532253×6371000²
    0.00153397999999993×0.000256133048532253×40589641000000     		ar = 2741493.41725017m²