Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2631 / 585
↖ ↑ ↗
← N 77.897255°
E 51.240234°		 ← 2 049.06 m → N 77.897255°
E 51.328125°		 →
↑
2 050.57 m
↓
↑
2 050.57 m
↓
N 77.878814°
E 51.240234°		 ← 2 052.13 m →
4 204 889 m²		 N 77.878814°
E 51.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6424560546875 y=0.1429443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6424560546875 × 212)
    floor (0.6424560546875 × 4096)
    floor (2631.5)     		tx = 2631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1429443359375 × 212)
    floor (0.1429443359375 × 4096)
    floor (585.5)     		ty = 585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2631 / 585 ti = "12/2631/585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2631/585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2631 ÷ 212
    2631 ÷ 4096     		x = 0.642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 585 ÷ 212
    585 ÷ 4096     		y = 0.142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642333984375 × 2 - 1) × π
    0.28466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.89431080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    0.71435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24421389261255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89431080} λ = 0.89431080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24421389261255))-π/2
    2×atan(9.432997292209)-π/2
    2×1.46517995393398-π/2
    2.93035990786796-1.57079632675     		φ = 1.35956358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89431080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35956358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.897255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2631 KachelY 585 0.89431080 1.35956358 51.240234 77.897255
    Oben rechts KachelX + 1 2632 KachelY 585 0.89584478 1.35956358 51.328125 77.897255
    Unten links KachelX 2631 KachelY + 1 586 0.89431080 1.35924172 51.240234 77.878814
    Unten rechts KachelX + 1 2632 KachelY + 1 586 0.89584478 1.35924172 51.328125 77.878814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35956358-1.35924172) × R
    0.000321860000000118 × 6371000     		dl = 2050.57006000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35956358-1.35924172) × R
    0.000321860000000118 × 6371000     		dr = 2050.57006000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89431080-0.89584478) × cos(1.35956358) × R
    0.00153398000000005 × 0.209665405621616 × 6371000     		do = 2049.05719543038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89431080-0.89584478) × cos(1.35924172) × R
    0.00153398000000005 × 0.209980100836179 × 6371000     		du = 2052.13270753909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35956358)-sin(1.35924172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209665405621616-0.209980100836179)×R²
    abs(0.89584478-0.89431080)×0.000314695214562455×R²
    0.00153398000000005×0.000314695214562455×6371000²
    0.00153398000000005×0.000314695214562455×40589641000000     		ar = 4204888.64900675m²