Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2632 / 456
↖ ↑ ↗
← N 80.058050°
E 51.328125°		 ← 1 687.31 m → N 80.058050°
E 51.416016°		 →
↑
1 688.57 m
↓
↑
1 688.57 m
↓
N 80.042864°
E 51.328125°		 ← 1 689.86 m →
2 851 294 m²		 N 80.042864°
E 51.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6427001953125 y=0.1114501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6427001953125 × 212)
    floor (0.6427001953125 × 4096)
    floor (2632.5)     		tx = 2632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1114501953125 × 212)
    floor (0.1114501953125 × 4096)
    floor (456.5)     		ty = 456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2632 / 456 ti = "12/2632/456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2632/456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2632 ÷ 212
    2632 ÷ 4096     		x = 0.642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 456 ÷ 212
    456 ÷ 4096     		y = 0.111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642578125 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89584478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111328125 × 2 - 1) × π
    0.77734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44209741424414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89584478} λ = 0.89584478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44209741424414))-π/2
    2×atan(11.4971297153185)-π/2
    2×1.48403644218364-π/2
    2.96807288436728-1.57079632675     		φ = 1.39727656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89584478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39727656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.058050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2632 KachelY 456 0.89584478 1.39727656 51.328125 80.058050
    Oben rechts KachelX + 1 2633 KachelY 456 0.89737876 1.39727656 51.416016 80.058050
    Unten links KachelX 2632 KachelY + 1 457 0.89584478 1.39701152 51.328125 80.042864
    Unten rechts KachelX + 1 2633 KachelY + 1 457 0.89737876 1.39701152 51.416016 80.042864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39727656-1.39701152) × R
    0.000265039999999939 × 6371000     		dl = 1688.56983999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39727656-1.39701152) × R
    0.000265039999999939 × 6371000     		dr = 1688.56983999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89584478-0.89737876) × cos(1.39727656) × R
    0.00153398000000005 × 0.172650322461766 × 6371000     		do = 1687.30928445156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89584478-0.89737876) × cos(1.39701152) × R
    0.00153398000000005 × 0.172911376336893 × 6371000     		du = 1689.86056046984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39727656)-sin(1.39701152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172650322461766-0.172911376336893)×R²
    abs(0.89737876-0.89584478)×0.000261053875127093×R²
    0.00153398000000005×0.000261053875127093×6371000²
    0.00153398000000005×0.000261053875127093×40589641000000     		ar = 2851293.58903681m²