Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2636 / 588
↖ ↑ ↗
← N 77.841848°
E 51.679687°		 ← 2 058.30 m → N 77.841848°
E 51.767578°		 →
↑
2 059.87 m
↓
↑
2 059.87 m
↓
N 77.823323°
E 51.679687°		 ← 2 061.39 m →
4 243 009 m²		 N 77.823323°
E 51.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6436767578125 y=0.1436767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6436767578125 × 212)
    floor (0.6436767578125 × 4096)
    floor (2636.5)     		tx = 2636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1436767578125 × 212)
    floor (0.1436767578125 × 4096)
    floor (588.5)     		ty = 588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2636 / 588 ti = "12/2636/588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2636/588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2636 ÷ 212
    2636 ÷ 4096     		x = 0.6435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 588 ÷ 212
    588 ÷ 4096     		y = 0.1435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90198070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1435546875 × 2 - 1) × π
    0.712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23961195024902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90198070} λ = 0.90198070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23961195024902))-π/2
    2×atan(9.38968691472055)-π/2
    2×1.46469643293211-π/2
    2.92939286586422-1.57079632675     		φ = 1.35859654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90198070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35859654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.841848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2636 KachelY 588 0.90198070 1.35859654 51.679687 77.841848
    Oben rechts KachelX + 1 2637 KachelY 588 0.90351468 1.35859654 51.767578 77.841848
    Unten links KachelX 2636 KachelY + 1 589 0.90198070 1.35827322 51.679687 77.823323
    Unten rechts KachelX + 1 2637 KachelY + 1 589 0.90351468 1.35827322 51.767578 77.823323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35859654-1.35827322) × R
    0.000323319999999905 × 6371000     		dl = 2059.87171999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35859654-1.35827322) × R
    0.000323319999999905 × 6371000     		dr = 2059.87171999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90198070-0.90351468) × cos(1.35859654) × R
    0.00153398000000005 × 0.210610853227156 × 6371000     		do = 2058.29704219141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90198070-0.90351468) × cos(1.35827322) × R
    0.00153398000000005 × 0.210926910139841 × 6371000     		du = 2061.38586215759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35859654)-sin(1.35827322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210610853227156-0.210926910139841)×R²
    abs(0.90351468-0.90198070)×0.000316056912684937×R²
    0.00153398000000005×0.000316056912684937×6371000²
    0.00153398000000005×0.000316056912684937×40589641000000     		ar = 4243009.19197543m²