Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26368 / 41728
↖ ↑ ↗
← S 44.087585°
W 35.156250°		 ← 438.76 m → S 44.087585°
W 35.150757°		 →
↑
438.71 m
↓
↑
438.71 m
↓
S 44.091531°
W 35.156250°		 ← 438.73 m →
192 481 m²		 S 44.091531°
W 35.150757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402351379394531 y=0.636726379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402351379394531 × 216)
    floor (0.402351379394531 × 65536)
    floor (26368.5)     		tx = 26368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636726379394531 × 216)
    floor (0.636726379394531 × 65536)
    floor (41728.5)     		ty = 41728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26368 / 41728 ti = "16/26368/41728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26368/41728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26368 ÷ 216
    26368 ÷ 65536     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41728 ÷ 216
    41728 ÷ 65536     		y = 0.63671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63671875 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859029241191406))-π/2
    2×atan(0.423573070089346)-π/2
    2×0.400661404408348-π/2
    0.801322808816697-1.57079632675     		φ = -0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26368 KachelY 41728 -0.61359232 -0.76947352 -35.156250 -44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 26369 KachelY 41728 -0.61349644 -0.76947352 -35.150757 -44.087585
    Unten links KachelX 26368 KachelY + 1 41729 -0.61359232 -0.76954238 -35.156250 -44.091531
    Unten rechts KachelX + 1 26369 KachelY + 1 41729 -0.61349644 -0.76954238 -35.150757 -44.091531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76947352--0.76954238) × R
    6.88599999999484e-05 × 6371000     		dl = 438.707059999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76947352--0.76954238) × R
    6.88599999999484e-05 × 6371000     		dr = 438.707059999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.61349644) × cos(-0.76947352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 438.760612101506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.61349644) × cos(-0.76954238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.718229159836713 × 6371000     		du = 438.731345265125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76947352)-sin(-0.76954238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.718229159836713)×R²
    abs(-0.61349644--0.61359232)×4.79115420668474e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79115420668474e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79115420668474e-05×40589641000000     		ar = 192480.958470704m²