Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2639 / 591
↖ ↑ ↗
← N 77.786191°
E 51.943360°		 ← 2 067.58 m → N 77.786191°
E 52.031250°		 →
↑
2 069.17 m
↓
↑
2 069.17 m
↓
N 77.767582°
E 51.943360°		 ← 2 070.68 m →
4 281 384 m²		 N 77.767582°
E 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6444091796875 y=0.1444091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6444091796875 × 212)
    floor (0.6444091796875 × 4096)
    floor (2639.5)     		tx = 2639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1444091796875 × 212)
    floor (0.1444091796875 × 4096)
    floor (591.5)     		ty = 591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2639 / 591 ti = "12/2639/591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2639/591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2639 ÷ 212
    2639 ÷ 4096     		x = 0.644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 591 ÷ 212
    591 ÷ 4096     		y = 0.144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644287109375 × 2 - 1) × π
    0.28857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90658265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144287109375 × 2 - 1) × π
    0.71142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2350100078855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90658265} λ = 0.90658265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2350100078855))-π/2
    2×atan(9.34657539118488)-π/2
    2×1.4642107318046-π/2
    2.9284214636092-1.57079632675     		φ = 1.35762514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90658265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.943360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35762514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.786191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2639 KachelY 591 0.90658265 1.35762514 51.943360 77.786191
    Oben rechts KachelX + 1 2640 KachelY 591 0.90811663 1.35762514 52.031250 77.786191
    Unten links KachelX 2639 KachelY + 1 592 0.90658265 1.35730036 51.943360 77.767582
    Unten rechts KachelX + 1 2640 KachelY + 1 592 0.90811663 1.35730036 52.031250 77.767582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35762514-1.35730036) × R
    0.000324779999999913 × 6371000     		dl = 2069.17337999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35762514-1.35730036) × R
    0.000324779999999913 × 6371000     		dr = 2069.17337999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90658265-0.90811663) × cos(1.35762514) × R
    0.00153397999999993 × 0.211560365189643 × 6371000     		do = 2067.5766098582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90658265-0.90811663) × cos(1.35730036) × R
    0.00153397999999993 × 0.21187778260903 × 6371000     		du = 2070.67872603811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35762514)-sin(1.35730036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211560365189643-0.21187778260903)×R²
    abs(0.90811663-0.90658265)×0.000317417419386234×R²
    0.00153397999999993×0.000317417419386234×6371000²
    0.00153397999999993×0.000317417419386234×40589641000000     		ar = 4281383.92797536m²