Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 264 / 792
↖ ↑ ↗
← N 37.718590°
W133.593750°		 ← 15.461 km → N 37.718590°
W133.417969°		 →
↑
15.476 km
↓
↑
15.476 km
↓
N 37.579413°
W133.593750°		 ← 15.490 km →
239.502 km²		 N 37.579413°
W133.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129150390625 y=0.386962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129150390625 × 211)
    floor (0.129150390625 × 2048)
    floor (264.5)     		tx = 264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.386962890625 × 211)
    floor (0.386962890625 × 2048)
    floor (792.5)     		ty = 792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 264 / 792 ti = "11/264/792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/264/792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 264 ÷ 211
    264 ÷ 2048     		x = 0.12890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 792 ÷ 211
    792 ÷ 2048     		y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12890625 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33165080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33165080} λ = -2.33165080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675     		φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33165080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 264 KachelY 792 -2.33165080 0.65831359 -133.593750 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 265 KachelY 792 -2.32858284 0.65831359 -133.417969 37.718590
    Unten links KachelX 264 KachelY + 1 793 -2.33165080 0.65588448 -133.593750 37.579413
    Unten rechts KachelX + 1 265 KachelY + 1 793 -2.32858284 0.65588448 -133.417969 37.579413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65831359-0.65588448) × R
    0.00242911000000001 × 6371000     		dl = 15475.8598100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65831359-0.65588448) × R
    0.00242911000000001 × 6371000     		dr = 15475.8598100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33165080--2.32858284) × cos(0.65831359) × R
    0.00306795999999965 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 15461.354866019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33165080--2.32858284) × cos(0.65588448) × R
    0.00306795999999965 × 0.792508828801761 × 6371000     		du = 15490.3562968205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.65588448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.792508828801761)×R²
    abs(-2.32858284--2.33165080)×0.00148375476442453×R²
    0.00306795999999965×0.00148375476442453×6371000²
    0.00306795999999965×0.00148375476442453×40589641000000     		ar = 239502289.184647m²