Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2642 / 594
↖ ↑ ↗
← N 77.730283°
E 52.207031°		 ← 2 076.90 m → N 77.730283°
E 52.294922°		 →
↑
2 078.48 m
↓
↑
2 078.48 m
↓
N 77.711590°
E 52.207031°		 ← 2 080.01 m →
4 320 014 m²		 N 77.711590°
E 52.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6451416015625 y=0.1451416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6451416015625 × 212)
    floor (0.6451416015625 × 4096)
    floor (2642.5)     		tx = 2642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1451416015625 × 212)
    floor (0.1451416015625 × 4096)
    floor (594.5)     		ty = 594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2642 / 594 ti = "12/2642/594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2642/594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2642 ÷ 212
    2642 ÷ 4096     		x = 0.64501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 594 ÷ 212
    594 ÷ 4096     		y = 0.14501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64501953125 × 2 - 1) × π
    0.2900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.91118459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14501953125 × 2 - 1) × π
    0.7099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23040806552197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.91118459} λ = 0.91118459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23040806552197))-π/2
    2×atan(9.30366180859001)-π/2
    2×1.46372284118196-π/2
    2.92744568236393-1.57079632675     		φ = 1.35664936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.91118459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35664936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.730283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2642 KachelY 594 0.91118459 1.35664936 52.207031 77.730283
    Oben rechts KachelX + 1 2643 KachelY 594 0.91271857 1.35664936 52.294922 77.730283
    Unten links KachelX 2642 KachelY + 1 595 0.91118459 1.35632312 52.207031 77.711590
    Unten rechts KachelX + 1 2643 KachelY + 1 595 0.91271857 1.35632312 52.294922 77.711590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35664936-1.35632312) × R
    0.000326239999999922 × 6371000     		dl = 2078.4750399995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35664936-1.35632312) × R
    0.000326239999999922 × 6371000     		dr = 2078.4750399995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.91118459-0.91271857) × cos(1.35664936) × R
    0.00153398000000005 × 0.212513957474201 × 6371000     		do = 2076.89605445812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.91118459-0.91271857) × cos(1.35632312) × R
    0.00153398000000005 × 0.212832734195435 × 6371000     		du = 2080.01145507675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35664936)-sin(1.35632312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212513957474201-0.212832734195435)×R²
    abs(0.91271857-0.91118459)×0.000318776721233899×R²
    0.00153398000000005×0.000318776721233899×6371000²
    0.00153398000000005×0.000318776721233899×40589641000000     		ar = 4320014.28939339m²