Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2648 / 600
↖ ↑ ↗
← N 77.617709°
E 52.734375°		 ← 2 095.66 m → N 77.617709°
E 52.822265°		 →
↑
2 097.21 m
↓
↑
2 097.21 m
↓
N 77.598848°
E 52.734375°		 ← 2 098.80 m →
4 398 315 m²		 N 77.598848°
E 52.822265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6466064453125 y=0.1466064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6466064453125 × 212)
    floor (0.6466064453125 × 4096)
    floor (2648.5)     		tx = 2648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1466064453125 × 212)
    floor (0.1466064453125 × 4096)
    floor (600.5)     		ty = 600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2648 / 600 ti = "12/2648/600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2648/600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2648 ÷ 212
    2648 ÷ 4096     		x = 0.646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 600 ÷ 212
    600 ÷ 4096     		y = 0.146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.646484375 × 2 - 1) × π
    0.29296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.92038847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146484375 × 2 - 1) × π
    0.70703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22120418079492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.92038847} λ = 0.92038847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22120418079492))-π/2
    2×atan(9.21842483511521)-π/2
    2×1.4627404538038-π/2
    2.9254809076076-1.57079632675     		φ = 1.35468458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.92038847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35468458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.617709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2648 KachelY 600 0.92038847 1.35468458 52.734375 77.617709
    Oben rechts KachelX + 1 2649 KachelY 600 0.92192245 1.35468458 52.822265 77.617709
    Unten links KachelX 2648 KachelY + 1 601 0.92038847 1.35435540 52.734375 77.598848
    Unten rechts KachelX + 1 2649 KachelY + 1 601 0.92192245 1.35435540 52.822265 77.598848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35468458-1.35435540) × R
    0.00032918000000004 × 6371000     		dl = 2097.20578000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35468458-1.35435540) × R
    0.00032918000000004 × 6371000     		dr = 2097.20578000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.92038847-0.92192245) × cos(1.35468458) × R
    0.00153397999999993 × 0.214433446605324 × 6371000     		do = 2095.65519597689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.92038847-0.92192245) × cos(1.35435540) × R
    0.00153397999999993 × 0.214754957794634 × 6371000     		du = 2098.79732051533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35468458)-sin(1.35435540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214433446605324-0.214754957794634)×R²
    abs(0.92192245-0.92038847)×0.000321511189309565×R²
    0.00153397999999993×0.000321511189309565×6371000²
    0.00153397999999993×0.000321511189309565×40589641000000     		ar = 4398315.07047631m²