Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26496 / 42880
↖ ↑ ↗
← S 48.458352°
W 34.453125°		 ← 405.05 m → S 48.458352°
W 34.447632°		 →
↑
405.07 m
↓
↑
405.07 m
↓
S 48.461995°
W 34.453125°		 ← 405.02 m →
164 068 m²		 S 48.461995°
W 34.447632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404304504394531 y=0.654304504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404304504394531 × 216)
    floor (0.404304504394531 × 65536)
    floor (26496.5)     		tx = 26496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654304504394531 × 216)
    floor (0.654304504394531 × 65536)
    floor (42880.5)     		ty = 42880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26496 / 42880 ti = "16/26496/42880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26496/42880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26496 ÷ 216
    26496 ÷ 65536     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42880 ÷ 216
    42880 ÷ 65536     		y = 0.654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654296875 × 2 - 1) × π
    -0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969475857916016))-π/2
    2×atan(0.379281783557872)-π/2
    2×0.362519268184134-π/2
    0.725038536368268-1.57079632675     		φ = -0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26496 KachelY 42880 -0.60132047 -0.84575779 -34.453125 -48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 26497 KachelY 42880 -0.60122460 -0.84575779 -34.447632 -48.458352
    Unten links KachelX 26496 KachelY + 1 42881 -0.60132047 -0.84582137 -34.453125 -48.461995
    Unten rechts KachelX + 1 26497 KachelY + 1 42881 -0.60122460 -0.84582137 -34.447632 -48.461995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84575779--0.84582137) × R
    6.3580000000063e-05 × 6371000     		dl = 405.068180000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84575779--0.84582137) × R
    6.3580000000063e-05 × 6371000     		dr = 405.068180000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.60122460) × cos(-0.84575779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 405.052635963495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.60122460) × cos(-0.84582137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663116697630861 × 6371000     		du = 405.023568995709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84575779)-sin(-0.84582137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.663116697630861)×R²
    abs(-0.60122460--0.60132047)×4.75893087802381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75893087802381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75893087802381e-05×40589641000000     		ar = 164068.047057581m²