Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2656 / 608
↖ ↑ ↗
← N 77.466029°
E 53.437500°		 ← 2 120.92 m → N 77.466029°
E 53.525391°		 →
↑
2 122.56 m
↓
↑
2 122.56 m
↓
N 77.446940°
E 53.437500°		 ← 2 124.10 m →
4 505 154 m²		 N 77.446940°
E 53.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6485595703125 y=0.1485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6485595703125 × 212)
    floor (0.6485595703125 × 4096)
    floor (2656.5)     		tx = 2656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1485595703125 × 212)
    floor (0.1485595703125 × 4096)
    floor (608.5)     		ty = 608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2656 / 608 ti = "12/2656/608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2656/608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2656 ÷ 212
    2656 ÷ 4096     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 608 ÷ 212
    608 ÷ 4096     		y = 0.1484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1484375 × 2 - 1) × π
    0.703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20893233449219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20893233449219))-π/2
    2×atan(9.10598905076639)-π/2
    2×1.46141679107316-π/2
    2.92283358214632-1.57079632675     		φ = 1.35203726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35203726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.466029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2656 KachelY 608 0.93266032 1.35203726 53.437500 77.466029
    Oben rechts KachelX + 1 2657 KachelY 608 0.93419430 1.35203726 53.525391 77.466029
    Unten links KachelX 2656 KachelY + 1 609 0.93266032 1.35170410 53.437500 77.446940
    Unten rechts KachelX + 1 2657 KachelY + 1 609 0.93419430 1.35170410 53.525391 77.446940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35203726-1.35170410) × R
    0.000333159999999832 × 6371000     		dl = 2122.56235999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35203726-1.35170410) × R
    0.000333159999999832 × 6371000     		dr = 2122.56235999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93419430) × cos(1.35203726) × R
    0.00153398000000005 × 0.217018431814494 × 6371000     		do = 2120.91822173576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93419430) × cos(1.35170410) × R
    0.00153398000000005 × 0.217343639730815 × 6371000     		du = 2124.09647433767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35203726)-sin(1.35170410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217018431814494-0.217343639730815)×R²
    abs(0.93419430-0.93266032)×0.000325207916320958×R²
    0.00153398000000005×0.000325207916320958×6371000²
    0.00153398000000005×0.000325207916320958×40589641000000     		ar = 4505154.24743501m²