Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26560 / 42944
↖ ↑ ↗
← S 48.690960°
W 34.101563°		 ← 403.24 m → S 48.690960°
W 34.096069°		 →
↑
403.22 m
↓
↑
403.22 m
↓
S 48.694586°
W 34.101563°		 ← 403.21 m →
162 587 m²		 S 48.694586°
W 34.096069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405281066894531 y=0.655281066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405281066894531 × 216)
    floor (0.405281066894531 × 65536)
    floor (26560.5)     		tx = 26560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655281066894531 × 216)
    floor (0.655281066894531 × 65536)
    floor (42944.5)     		ty = 42944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26560 / 42944 ti = "16/26560/42944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26560/42944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26560 ÷ 216
    26560 ÷ 65536     		x = 0.4052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42944 ÷ 216
    42944 ÷ 65536     		y = 0.6552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4052734375 × 2 - 1) × π
    -0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    -0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59518455} λ = -0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975611781067383))-π/2
    2×atan(0.37696166499513)-π/2
    2×0.360489376016754-π/2
    0.720978752033509-1.57079632675     		φ = -0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26560 KachelY 42944 -0.59518455 -0.84981757 -34.101563 -48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 26561 KachelY 42944 -0.59508867 -0.84981757 -34.096069 -48.690960
    Unten links KachelX 26560 KachelY + 1 42945 -0.59518455 -0.84988086 -34.101563 -48.694586
    Unten rechts KachelX + 1 26561 KachelY + 1 42945 -0.59508867 -0.84988086 -34.096069 -48.694586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84981757--0.84988086) × R
    6.32899999999381e-05 × 6371000     		dl = 403.220589999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84981757--0.84988086) × R
    6.32899999999381e-05 × 6371000     		dr = 403.220589999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59518455--0.59508867) × cos(-0.84981757) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 403.235395641993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59518455--0.59508867) × cos(-0.84988086) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.660072648748226 × 6371000     		du = 403.206354395577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84981757)-sin(-0.84988086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.660072648748226)×R²
    abs(-0.59508867--0.59518455)×4.75422379531132e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.75422379531132e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.75422379531132e-05×40589641000000     		ar = 162586.959179454m²