Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26592 / 42976
↖ ↑ ↗
← S 48.806863°
W 33.925781°		 ← 402.26 m → S 48.806863°
W 33.920288°		 →
↑
402.33 m
↓
↑
402.33 m
↓
S 48.810481°
W 33.925781°		 ← 402.24 m →
161 837 m²		 S 48.810481°
W 33.920288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405769348144531 y=0.655769348144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405769348144531 × 216)
    floor (0.405769348144531 × 65536)
    floor (26592.5)     		tx = 26592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655769348144531 × 216)
    floor (0.655769348144531 × 65536)
    floor (42976.5)     		ty = 42976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26592 / 42976 ti = "16/26592/42976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26592/42976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26592 ÷ 216
    26592 ÷ 65536     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42976 ÷ 216
    42976 ÷ 65536     		y = 0.65576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65576171875 × 2 - 1) × π
    -0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978679742643066))-π/2
    2×atan(0.375806933333335)-π/2
    2×0.359477930923034-π/2
    0.718955861846068-1.57079632675     		φ = -0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26592 KachelY 42976 -0.59211658 -0.85184046 -33.925781 -48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 26593 KachelY 42976 -0.59202071 -0.85184046 -33.920288 -48.806863
    Unten links KachelX 26592 KachelY + 1 42977 -0.59211658 -0.85190361 -33.925781 -48.810481
    Unten rechts KachelX + 1 26593 KachelY + 1 42977 -0.59202071 -0.85190361 -33.920288 -48.810481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85184046--0.85190361) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dl = 402.328650000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85184046--0.85190361) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dr = 402.328650000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59202071) × cos(-0.85184046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 402.264414477617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59202071) × cos(-0.85190361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658551806056354 × 6371000     		du = 402.235389050624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85184046)-sin(-0.85190361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.658551806056354)×R²
    abs(-0.59202071--0.59211658)×4.75212969524019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75212969524019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75212969524019e-05×40589641000000     		ar = 161836.659993071m²