Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2660 / 612
↖ ↑ ↗
← N 77.389504°
E 53.789062°		 ← 2 133.66 m → N 77.389504°
E 53.876953°		 →
↑
2 135.24 m
↓
↑
2 135.24 m
↓
N 77.370301°
E 53.789062°		 ← 2 136.85 m →
4 559 286 m²		 N 77.370301°
E 53.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6495361328125 y=0.1495361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6495361328125 × 212)
    floor (0.6495361328125 × 4096)
    floor (2660.5)     		tx = 2660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1495361328125 × 212)
    floor (0.1495361328125 × 4096)
    floor (612.5)     		ty = 612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2660 / 612 ti = "12/2660/612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2660/612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2660 ÷ 212
    2660 ÷ 4096     		x = 0.6494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 612 ÷ 212
    612 ÷ 4096     		y = 0.1494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1494140625 × 2 - 1) × π
    0.701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20279641134082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93879624} λ = 0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20279641134082))-π/2
    2×atan(9.0502864698762)-π/2
    2×1.46074898908034-π/2
    2.92149797816067-1.57079632675     		φ = 1.35070165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35070165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.389504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2660 KachelY 612 0.93879624 1.35070165 53.789062 77.389504
    Oben rechts KachelX + 1 2661 KachelY 612 0.94033022 1.35070165 53.876953 77.389504
    Unten links KachelX 2660 KachelY + 1 613 0.93879624 1.35036650 53.789062 77.370301
    Unten rechts KachelX + 1 2661 KachelY + 1 613 0.94033022 1.35036650 53.876953 77.370301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35070165-1.35036650) × R
    0.000335149999999951 × 6371000     		dl = 2135.24064999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35070165-1.35036650) × R
    0.000335149999999951 × 6371000     		dr = 2135.24064999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93879624-0.94033022) × cos(1.35070165) × R
    0.00153398000000005 × 0.21832201694531 × 6371000     		do = 2133.65814172511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93879624-0.94033022) × cos(1.35036650) × R
    0.00153398000000005 × 0.218649069781668 × 6371000     		du = 2136.85442470579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35070165)-sin(1.35036650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21832201694531-0.218649069781668)×R²
    abs(0.94033022-0.93879624)×0.000327052836358643×R²
    0.00153398000000005×0.000327052836358643×6371000²
    0.00153398000000005×0.000327052836358643×40589641000000     		ar = 4559286.05676465m²