Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26616 / 43000
↖ ↑ ↗
← S 48.893615°
W 33.793945°		 ← 401.57 m → S 48.893615°
W 33.788452°		 →
↑
401.56 m
↓
↑
401.56 m
↓
S 48.897227°
W 33.793945°		 ← 401.54 m →
161 249 m²		 S 48.897227°
W 33.788452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406135559082031 y=0.656135559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406135559082031 × 216)
    floor (0.406135559082031 × 65536)
    floor (26616.5)     		tx = 26616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656135559082031 × 216)
    floor (0.656135559082031 × 65536)
    floor (43000.5)     		ty = 43000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26616 / 43000 ti = "16/26616/43000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26616/43000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26616 ÷ 216
    26616 ÷ 65536     		x = 0.4061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43000 ÷ 216
    43000 ÷ 65536     		y = 0.6561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.980980713824829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58981561} λ = -0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980980713824829))-π/2
    2×atan(0.37494320649619)-π/2
    2×0.358720877775912-π/2
    0.717441755551824-1.57079632675     		φ = -0.85335457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85335457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.893615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26616 KachelY 43000 -0.58981561 -0.85335457 -33.793945 -48.893615
    Oben rechts KachelX + 1 26617 KachelY 43000 -0.58971974 -0.85335457 -33.788452 -48.893615
    Unten links KachelX 26616 KachelY + 1 43001 -0.58981561 -0.85341760 -33.793945 -48.897227
    Unten rechts KachelX + 1 26617 KachelY + 1 43001 -0.58971974 -0.85341760 -33.788452 -48.897227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85335457--0.85341760) × R
    6.30299999999639e-05 × 6371000     		dl = 401.56412999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85335457--0.85341760) × R
    6.30299999999639e-05 × 6371000     		dr = 401.56412999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58981561--0.58971974) × cos(-0.85335457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657459214465196 × 6371000     		do = 401.56804746914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58981561--0.58971974) × cos(-0.85341760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657411720676141 × 6371000     		du = 401.539038843634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85335457)-sin(-0.85341760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657459214465196-0.657411720676141)×R²
    abs(-0.58971974--0.58981561)×4.74937890551086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74937890551086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74937890551086e-05×40589641000000     		ar = 161249.499259236m²