Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26623 / 10241
↖ ↑ ↗
← N 76.839566°
W 33.755493°		 ← 139.08 m → N 76.839566°
W 33.750000°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
N 76.838315°
W 33.755493°		 ← 139.09 m →
19 344 m²		 N 76.838315°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406242370605469 y=0.156272888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406242370605469 × 216)
    floor (0.406242370605469 × 65536)
    floor (26623.5)     		tx = 26623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156272888183594 × 216)
    floor (0.156272888183594 × 65536)
    floor (10241.5)     		ty = 10241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26623 / 10241 ti = "16/26623/10241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26623/10241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26623 ÷ 216
    26623 ÷ 65536     		x = 0.406234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10241 ÷ 216
    10241 ÷ 65536     		y = 0.156265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.187530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58914450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156265258789062 × 2 - 1) × π
    0.687469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15974907548201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58914450} λ = -0.58914450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15974907548201))-π/2
    2×atan(8.66896213038416)-π/2
    2×1.45594987287426-π/2
    2.91189974574852-1.57079632675     		φ = 1.34110342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58914450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34110342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.839566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26623 KachelY 10241 -0.58914450 1.34110342 -33.755493 76.839566
    Oben rechts KachelX + 1 26624 KachelY 10241 -0.58904862 1.34110342 -33.750000 76.839566
    Unten links KachelX 26623 KachelY + 1 10242 -0.58914450 1.34108159 -33.755493 76.838315
    Unten rechts KachelX + 1 26624 KachelY + 1 10242 -0.58904862 1.34108159 -33.750000 76.838315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34110342-1.34108159) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dl = 139.07893000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34110342-1.34108159) × R
    2.18300000001115e-05 × 6371000     		dr = 139.07893000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58914450--0.58904862) × cos(1.34110342) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227678506456093 × 6371000     		do = 139.077752632803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58914450--0.58904862) × cos(1.34108159) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227699763066568 × 6371000     		du = 139.090737264771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34110342)-sin(1.34108159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227678506456093-0.227699763066568)×R²
    abs(-0.58904862--0.58914450)×2.12566104750567e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.12566104750567e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.12566104750567e-05×40589641000000     		ar = 19343.6879683167m²