Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26624 / 26624
↖ ↑ ↗
← S 74.019543°
E112.500000°		 ← 336.33 m → S 74.019543°
E112.510987°		 →
↑
336.33 m
↓
↑
336.33 m
↓
S 74.022568°
E112.500000°		 ← 336.27 m →
113 105 m²		 S 74.022568°
E112.510987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812515258789062 y=0.812515258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812515258789062 × 215)
    floor (0.812515258789062 × 32768)
    floor (26624.5)     		tx = 26624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812515258789062 × 215)
    floor (0.812515258789062 × 32768)
    floor (26624.5)     		ty = 26624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26624 / 26624 ti = "15/26624/26624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26624/26624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26624 ÷ 215
    26624 ÷ 32768     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26624 ÷ 215
    26624 ÷ 32768     		y = 0.8125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8125 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Φ = -1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9634954084375))-π/2
    2×atan(0.140366922701998)-π/2
    2×0.139455792601043-π/2
    0.278911585202086-1.57079632675     		φ = -1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26624 KachelY 26624 1.96349541 -1.29188474 112.500000 -74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 26625 KachelY 26624 1.96368716 -1.29188474 112.510987 -74.019543
    Unten links KachelX 26624 KachelY + 1 26625 1.96349541 -1.29193753 112.500000 -74.022568
    Unten rechts KachelX + 1 26625 KachelY + 1 26625 1.96368716 -1.29193753 112.510987 -74.022568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29188474--1.29193753) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dl = 336.325090000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29188474--1.29193753) × R
    5.27900000000248e-05 × 6371000     		dr = 336.325090000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-1.96368716) × cos(-1.29188474) × R
    0.000191750000000157 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 336.328841804188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-1.96368716) × cos(-1.29193753) × R
    0.000191750000000157 × 0.275258709300546 × 6371000     		du = 336.266843186163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29188474)-sin(-1.29193753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.275258709300546)×R²
    abs(1.96368716-1.96349541)×5.07503487834349e-05×R²
    0.000191750000000157×5.07503487834349e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.07503487834349e-05×40589641000000     		ar = 113105.402170178m²