Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26625 / 2047
↖ ↑ ↗
← N 82.677686°
E112.510987°		 ← 155.69 m → N 82.677686°
E112.521972°		 →
↑
155.71 m
↓
↑
155.71 m
↓
N 82.676285°
E112.510987°		 ← 155.72 m →
24 245 m²		 N 82.676285°
E112.521972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812545776367188 y=0.0624847412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812545776367188 × 215)
    floor (0.812545776367188 × 32768)
    floor (26625.5)     		tx = 26625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0624847412109375 × 215)
    floor (0.0624847412109375 × 32768)
    floor (2047.5)     		ty = 2047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26625 / 2047 ti = "15/26625/2047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26625/2047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26625 ÷ 215
    26625 ÷ 32768     		x = 0.812530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2047 ÷ 215
    2047 ÷ 32768     		y = 0.062469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812530517578125 × 2 - 1) × π
    0.62506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96368716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062469482421875 × 2 - 1) × π
    0.87506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.74908531941098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96368716} λ = 1.96368716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74908531941098))-π/2
    2×atan(15.6283304140782)-π/2
    2×1.50689707685175-π/2
    3.01379415370351-1.57079632675     		φ = 1.44299783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96368716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.510987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44299783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.677686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26625 KachelY 2047 1.96368716 1.44299783 112.510987 82.677686
    Oben rechts KachelX + 1 26626 KachelY 2047 1.96387890 1.44299783 112.521972 82.677686
    Unten links KachelX 26625 KachelY + 1 2048 1.96368716 1.44297339 112.510987 82.676285
    Unten rechts KachelX + 1 26626 KachelY + 1 2048 1.96387890 1.44297339 112.521972 82.676285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44299783-1.44297339) × R
    2.44400000000145e-05 × 6371000     		dl = 155.707240000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44299783-1.44297339) × R
    2.44400000000145e-05 × 6371000     		dr = 155.707240000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96368716-1.96387890) × cos(1.44299783) × R
    0.000191739999999996 × 0.127450903552573 × 6371000     		do = 155.690906330719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96368716-1.96387890) × cos(1.44297339) × R
    0.000191739999999996 × 0.127475144203388 × 6371000     		du = 155.720518116829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44299783)-sin(1.44297339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127450903552573-0.127475144203388)×R²
    abs(1.96387890-1.96368716)×2.42406508155213e-05×R²
    0.000191739999999996×2.42406508155213e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.42406508155213e-05×40589641000000     		ar = 24244.5067043622m²