Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26626 / 26626
↖ ↑ ↗
← S 74.025591°
E112.521972°		 ← 336.20 m → S 74.025591°
E112.532959°		 →
↑
336.20 m
↓
↑
336.20 m
↓
S 74.028615°
E112.521972°		 ← 336.14 m →
113 021 m²		 S 74.028615°
E112.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812576293945312 y=0.812576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812576293945312 × 215)
    floor (0.812576293945312 × 32768)
    floor (26626.5)     		tx = 26626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812576293945312 × 215)
    floor (0.812576293945312 × 32768)
    floor (26626.5)     		ty = 26626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26626 / 26626 ti = "15/26626/26626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26626/26626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26626 ÷ 215
    26626 ÷ 32768     		x = 0.81256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26626 ÷ 215
    26626 ÷ 32768     		y = 0.81256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81256103515625 × 2 - 1) × π
    0.6251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96387890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.81256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.6251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96387890363446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96387890} λ = 1.96387890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96387890363446))-π/2
    2×atan(0.140313102981791)-π/2
    2×0.139403012403683-π/2
    0.278806024807365-1.57079632675     		φ = -1.29199030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96387890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.521972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29199030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.025591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26626 KachelY 26626 1.96387890 -1.29199030 112.521972 -74.025591
    Oben rechts KachelX + 1 26627 KachelY 26626 1.96407065 -1.29199030 112.532959 -74.025591
    Unten links KachelX 26626 KachelY + 1 26627 1.96387890 -1.29204307 112.521972 -74.028615
    Unten rechts KachelX + 1 26627 KachelY + 1 26627 1.96407065 -1.29204307 112.532959 -74.028615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29199030--1.29204307) × R
    5.27700000001463e-05 × 6371000     		dl = 336.197670000932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29199030--1.29204307) × R
    5.27700000001463e-05 × 6371000     		dr = 336.197670000932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96387890-1.96407065) × cos(-1.29199030) × R
    0.000191749999999935 × 0.275207977412371 × 6371000     		do = 336.204867119951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96387890-1.96407065) × cos(-1.29204307) × R
    0.000191749999999935 × 0.275157244757831 × 6371000     		du = 336.142890117909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29199030)-sin(-1.29204307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275207977412371-0.275157244757831)×R²
    abs(1.96407065-1.96387890)×5.07326545399756e-05×R²
    0.000191749999999935×5.07326545399756e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.07326545399756e-05×40589641000000     		ar = 113020.874733819m²