Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26626 / 43010
↖ ↑ ↗
← S 48.929717°
W 33.739013°		 ← 401.28 m → S 48.929717°
W 33.733520°		 →
↑
401.31 m
↓
↑
401.31 m
↓
S 48.933326°
W 33.739013°		 ← 401.25 m →
161 031 m²		 S 48.933326°
W 33.733520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406288146972656 y=0.656288146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406288146972656 × 216)
    floor (0.406288146972656 × 65536)
    floor (26626.5)     		tx = 26626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656288146972656 × 216)
    floor (0.656288146972656 × 65536)
    floor (43010.5)     		ty = 43010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26626 / 43010 ti = "16/26626/43010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26626/43010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26626 ÷ 216
    26626 ÷ 65536     		x = 0.406280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43010 ÷ 216
    43010 ÷ 65536     		y = 0.656280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58885687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.31256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.98193945181723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58885687} λ = -0.58885687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98193945181723))-π/2
    2×atan(0.374583906463947)-π/2
    2×0.358405826043866-π/2
    0.716811652087731-1.57079632675     		φ = -0.85398467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58885687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.739013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85398467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.929717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26626 KachelY 43010 -0.58885687 -0.85398467 -33.739013 -48.929717
    Oben rechts KachelX + 1 26627 KachelY 43010 -0.58876100 -0.85398467 -33.733520 -48.929717
    Unten links KachelX 26626 KachelY + 1 43011 -0.58885687 -0.85404766 -33.739013 -48.933326
    Unten rechts KachelX + 1 26627 KachelY + 1 43011 -0.58876100 -0.85404766 -33.733520 -48.933326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85398467--0.85404766) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dl = 401.309289999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85398467--0.85404766) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dr = 401.309289999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58885687--0.58876100) × cos(-0.85398467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65698430984928 × 6371000     		do = 401.277981537822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58885687--0.58876100) × cos(-0.85404766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656936820117297 × 6371000     		du = 401.248975390326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85398467)-sin(-0.85404766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65698430984928-0.656936820117297)×R²
    abs(-0.58876100--0.58885687)×4.74897319825418e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74897319825418e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74897319825418e-05×40589641000000     		ar = 161030.761698693m²