Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26628 / 43012
↖ ↑ ↗
← S 48.936935°
W 33.728027°		 ← 401.26 m → S 48.936935°
W 33.722534°		 →
↑
401.25 m
↓
↑
401.25 m
↓
S 48.940543°
W 33.728027°		 ← 401.23 m →
160 999 m²		 S 48.940543°
W 33.722534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406318664550781 y=0.656318664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406318664550781 × 216)
    floor (0.406318664550781 × 65536)
    floor (26628.5)     		tx = 26628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656318664550781 × 216)
    floor (0.656318664550781 × 65536)
    floor (43012.5)     		ty = 43012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26628 / 43012 ti = "16/26628/43012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26628/43012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26628 ÷ 216
    26628 ÷ 65536     		x = 0.40631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43012 ÷ 216
    43012 ÷ 65536     		y = 0.65631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58866513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65631103515625 × 2 - 1) × π
    -0.3126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.98213119941571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58866513} λ = -0.58866513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98213119941571))-π/2
    2×atan(0.374512087785203)-π/2
    2×0.358342843015048-π/2
    0.716685686030096-1.57079632675     		φ = -0.85411064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58866513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.728027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85411064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.936935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26628 KachelY 43012 -0.58866513 -0.85411064 -33.728027 -48.936935
    Oben rechts KachelX + 1 26629 KachelY 43012 -0.58856925 -0.85411064 -33.722534 -48.936935
    Unten links KachelX 26628 KachelY + 1 43013 -0.58866513 -0.85417362 -33.728027 -48.940543
    Unten rechts KachelX + 1 26629 KachelY + 1 43013 -0.58856925 -0.85417362 -33.722534 -48.940543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85411064--0.85417362) × R
    6.29799999999348e-05 × 6371000     		dl = 401.245579999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85411064--0.85417362) × R
    6.29799999999348e-05 × 6371000     		dr = 401.245579999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58866513--0.58856925) × cos(-0.85411064) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.65688933531863 × 6371000     		do = 401.261822675338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58866513--0.58856925) × cos(-0.85417362) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.656841847914424 × 6371000     		du = 401.232814924198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85411064)-sin(-0.85417362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65688933531863-0.656841847914424)×R²
    abs(-0.58856925--0.58866513)×4.74874042057927e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74874042057927e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74874042057927e-05×40589641000000     		ar = 160998.713208023m²