Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26630 / 43014
↖ ↑ ↗
← S 48.944151°
W 33.717041°		 ← 401.16 m → S 48.944151°
W 33.711548°		 →
↑
401.18 m
↓
↑
401.18 m
↓
S 48.947759°
W 33.717041°		 ← 401.13 m →
160 933 m²		 S 48.947759°
W 33.711548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406349182128906 y=0.656349182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406349182128906 × 216)
    floor (0.406349182128906 × 65536)
    floor (26630.5)     		tx = 26630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656349182128906 × 216)
    floor (0.656349182128906 × 65536)
    floor (43014.5)     		ty = 43014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26630 / 43014 ti = "16/26630/43014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26630/43014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26630 ÷ 216
    26630 ÷ 65536     		x = 0.406341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43014 ÷ 216
    43014 ÷ 65536     		y = 0.656341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.18731689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58847338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.31268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.982322947014191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58847338} λ = -0.58847338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982322947014191))-π/2
    2×atan(0.374440282876198)-π/2
    2×0.358279869091356-π/2
    0.716559738182712-1.57079632675     		φ = -0.85423659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58847338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.717041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85423659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26630 KachelY 43014 -0.58847338 -0.85423659 -33.717041 -48.944151
    Oben rechts KachelX + 1 26631 KachelY 43014 -0.58837751 -0.85423659 -33.711548 -48.944151
    Unten links KachelX 26630 KachelY + 1 43015 -0.58847338 -0.85429956 -33.717041 -48.947759
    Unten rechts KachelX + 1 26631 KachelY + 1 43015 -0.58837751 -0.85429956 -33.711548 -48.947759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85423659--0.85429956) × R
    6.29699999999955e-05 × 6371000     		dl = 401.181869999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85423659--0.85429956) × R
    6.29699999999955e-05 × 6371000     		dr = 401.181869999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58847338--0.58837751) × cos(-0.85423659) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656794365445566 × 6371000     		do = 401.161965819053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58847338--0.58837751) × cos(-0.85429956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		du = 401.132962517089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85423659)-sin(-0.85429956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656794365445566-0.656746880372372)×R²
    abs(-0.58837751--0.58847338)×4.74850731934096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74850731934096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74850731934096e-05×40589641000000     		ar = 160933.089873958m²