Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26632 / 2056
↖ ↑ ↗
← N 82.665072°
E112.587891°		 ← 155.97 m → N 82.665072°
E112.598877°		 →
↑
155.96 m
↓
↑
155.96 m
↓
N 82.663670°
E112.587891°		 ← 156 m →
24 327 m²		 N 82.663670°
E112.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812759399414062 y=0.0627593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812759399414062 × 215)
    floor (0.812759399414062 × 32768)
    floor (26632.5)     		tx = 26632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0627593994140625 × 215)
    floor (0.0627593994140625 × 32768)
    floor (2056.5)     		ty = 2056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26632 / 2056 ti = "15/26632/2056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26632/2056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26632 ÷ 215
    26632 ÷ 32768     		x = 0.812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2056 ÷ 215
    2056 ÷ 32768     		y = 0.062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96502939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.062744140625 × 2 - 1) × π
    0.87451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.74735959102466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96502939} λ = 1.96502939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74735959102466))-π/2
    2×atan(15.6013834189367)-π/2
    2×1.50678700985745-π/2
    3.01357401971491-1.57079632675     		φ = 1.44277769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96502939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44277769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.665072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26632 KachelY 2056 1.96502939 1.44277769 112.587891 82.665072
    Oben rechts KachelX + 1 26633 KachelY 2056 1.96522114 1.44277769 112.598877 82.665072
    Unten links KachelX 26632 KachelY + 1 2057 1.96502939 1.44275321 112.587891 82.663670
    Unten rechts KachelX + 1 26633 KachelY + 1 2057 1.96522114 1.44275321 112.598877 82.663670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44277769-1.44275321) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dl = 155.962079999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44277769-1.44275321) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dr = 155.962079999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96502939-1.96522114) × cos(1.44277769) × R
    0.000191749999999935 × 0.127669245194587 × 6371000     		do = 155.965760947529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96502939-1.96522114) × cos(1.44275321) × R
    0.000191749999999935 × 0.127693524831583 × 6371000     		du = 155.995421905059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44277769)-sin(1.44275321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127669245194587-0.127693524831583)×R²
    abs(1.96522114-1.96502939)×2.42796369958886e-05×R²
    0.000191749999999935×2.42796369958886e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.42796369958886e-05×40589641000000     		ar = 24327.0574794529m²