Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26632 / 26632
↖ ↑ ↗
← S 74.043723°
E112.587891°		 ← 335.83 m → S 74.043723°
E112.598877°		 →
↑
335.82 m
↓
↑
335.82 m
↓
S 74.046743°
E112.587891°		 ← 335.77 m →
112 768 m²		 S 74.046743°
E112.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812759399414062 y=0.812759399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812759399414062 × 215)
    floor (0.812759399414062 × 32768)
    floor (26632.5)     		tx = 26632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.812759399414062 × 215)
    floor (0.812759399414062 × 32768)
    floor (26632.5)     		ty = 26632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26632 / 26632 ti = "15/26632/26632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26632/26632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26632 ÷ 215
    26632 ÷ 32768     		x = 0.812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26632 ÷ 215
    26632 ÷ 32768     		y = 0.812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    0.62548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96502939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.62548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.96502938922534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96502939} λ = 1.96502939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.96502938922534))-π/2
    2×atan(0.140151767603408)-π/2
    2×0.139244788519797-π/2
    0.278489577039594-1.57079632675     		φ = -1.29230675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96502939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29230675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.043723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26632 KachelY 26632 1.96502939 -1.29230675 112.587891 -74.043723
    Oben rechts KachelX + 1 26633 KachelY 26632 1.96522114 -1.29230675 112.598877 -74.043723
    Unten links KachelX 26632 KachelY + 1 26633 1.96502939 -1.29235946 112.587891 -74.046743
    Unten rechts KachelX + 1 26633 KachelY + 1 26633 1.96522114 -1.29235946 112.598877 -74.046743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29230675--1.29235946) × R
    5.27099999998448e-05 × 6371000     		dl = 335.815409999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29230675--1.29235946) × R
    5.27099999998448e-05 × 6371000     		dr = 335.815409999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96502939-1.96522114) × cos(-1.29230675) × R
    0.000191749999999935 × 0.274903733444816 × 6371000     		do = 335.833190747611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96502939-1.96522114) × cos(-1.29235946) × R
    0.000191749999999935 × 0.274853053886699 × 6371000     		du = 335.771278610242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29230675)-sin(-1.29235946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274903733444816-0.274853053886699)×R²
    abs(1.96522114-1.96502939)×5.06795581169395e-05×R²
    0.000191749999999935×5.06795581169395e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.06795581169395e-05×40589641000000     		ar = 112767.565143459m²