Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26632 / 38920
↖ ↑ ↗
← S 31.989442°
W 33.706055°		 ← 518.04 m → S 31.989442°
W 33.700562°		 →
↑
518.03 m
↓
↑
518.03 m
↓
S 31.994101°
W 33.706055°		 ← 518.01 m →
268 350 m²		 S 31.994101°
W 33.700562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406379699707031 y=0.593879699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406379699707031 × 216)
    floor (0.406379699707031 × 65536)
    floor (26632.5)     		tx = 26632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593879699707031 × 216)
    floor (0.593879699707031 × 65536)
    floor (38920.5)     		ty = 38920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26632 / 38920 ti = "16/26632/38920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26632/38920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26632 ÷ 216
    26632 ÷ 65536     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38920 ÷ 216
    38920 ÷ 65536     		y = 0.5938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.589815612925171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589815612925171))-π/2
    2×atan(0.55442950494479)-π/2
    2×0.506237620431107-π/2
    1.01247524086221-1.57079632675     		φ = -0.55832109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55832109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.989442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26632 KachelY 38920 -0.58828163 -0.55832109 -33.706055 -31.989442
    Oben rechts KachelX + 1 26633 KachelY 38920 -0.58818576 -0.55832109 -33.700562 -31.989442
    Unten links KachelX 26632 KachelY + 1 38921 -0.58828163 -0.55840240 -33.706055 -31.994101
    Unten rechts KachelX + 1 26633 KachelY + 1 38921 -0.58818576 -0.55840240 -33.700562 -31.994101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55832109--0.55840240) × R
    8.13100000000011e-05 × 6371000     		dl = 518.026010000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55832109--0.55840240) × R
    8.13100000000011e-05 × 6371000     		dr = 518.026010000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58818576) × cos(-0.55832109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848145730318861 × 6371000     		do = 518.037039256467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58818576) × cos(-0.55840240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848102652486928 × 6371000     		du = 518.010727843564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55832109)-sin(-0.55840240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848145730318861-0.848102652486928)×R²
    abs(-0.58818576--0.58828163)×4.30778319323588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30778319323588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30778319323588e-05×40589641000000     		ar = 268349.845628064m²