Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26632 / 43016
↖ ↑ ↗
← S 48.951367°
W 33.706055°		 ← 401.10 m → S 48.951367°
W 33.700562°		 →
↑
401.12 m
↓
↑
401.12 m
↓
S 48.954974°
W 33.706055°		 ← 401.07 m →
160 884 m²		 S 48.954974°
W 33.700562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406379699707031 y=0.656379699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406379699707031 × 216)
    floor (0.406379699707031 × 65536)
    floor (26632.5)     		tx = 26632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656379699707031 × 216)
    floor (0.656379699707031 × 65536)
    floor (43016.5)     		ty = 43016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26632 / 43016 ti = "16/26632/43016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26632/43016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26632 ÷ 216
    26632 ÷ 65536     		x = 0.4063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43016 ÷ 216
    43016 ÷ 65536     		y = 0.6563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.187255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58828163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58828163} λ = -0.58828163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982514694612671))-π/2
    2×atan(0.374368491734291)-π/2
    2×0.358216904272472-π/2
    0.716433808544943-1.57079632675     		φ = -0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58828163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.706055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26632 KachelY 43016 -0.58828163 -0.85436252 -33.706055 -48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 26633 KachelY 43016 -0.58818576 -0.85436252 -33.700562 -48.951367
    Unten links KachelX 26632 KachelY + 1 43017 -0.58828163 -0.85442548 -33.706055 -48.954974
    Unten rechts KachelX + 1 26633 KachelY + 1 43017 -0.58818576 -0.85442548 -33.700562 -48.954974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85436252--0.85442548) × R
    6.29599999999453e-05 × 6371000     		dl = 401.118159999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85436252--0.85442548) × R
    6.29599999999453e-05 × 6371000     		dr = 401.118159999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58828163--0.58818576) × cos(-0.85436252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 401.103962230815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58828163--0.58818576) × cos(-0.85442548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65665191749761 × 6371000     		du = 401.07496035458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85436252)-sin(-0.85442548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.65665191749761)×R²
    abs(-0.58818576--0.58828163)×4.74827389467247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74827389467247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74827389467247e-05×40589641000000     		ar = 160884.266762039m²