Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26636 / 43004
↖ ↑ ↗
← S 48.908060°
W 33.684082°		 ← 401.49 m → S 48.908060°
W 33.678589°		 →
↑
401.44 m
↓
↑
401.44 m
↓
S 48.911670°
W 33.684082°		 ← 401.46 m →
161 169 m²		 S 48.911670°
W 33.678589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406440734863281 y=0.656196594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406440734863281 × 216)
    floor (0.406440734863281 × 65536)
    floor (26636.5)     		tx = 26636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656196594238281 × 216)
    floor (0.656196594238281 × 65536)
    floor (43004.5)     		ty = 43004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26636 / 43004 ti = "16/26636/43004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26636/43004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26636 ÷ 216
    26636 ÷ 65536     		x = 0.40643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43004 ÷ 216
    43004 ÷ 65536     		y = 0.65618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.58789814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.3123779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.98136420902179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58789814} λ = -0.58789814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98136420902179))-π/2
    2×atan(0.374799445145022)-π/2
    2×0.358594829764239-π/2
    0.717189659528478-1.57079632675     		φ = -0.85360667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58789814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.684082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85360667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.908060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26636 KachelY 43004 -0.58789814 -0.85360667 -33.684082 -48.908060
    Oben rechts KachelX + 1 26637 KachelY 43004 -0.58780226 -0.85360667 -33.678589 -48.908060
    Unten links KachelX 26636 KachelY + 1 43005 -0.58789814 -0.85366968 -33.684082 -48.911670
    Unten rechts KachelX + 1 26637 KachelY + 1 43005 -0.58780226 -0.85366968 -33.678589 -48.911670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85360667--0.85366968) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dl = 401.436709999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85360667--0.85366968) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dr = 401.436709999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58789814--0.58780226) × cos(-0.85360667) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.657269238712331 × 6371000     		do = 401.493887225637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58789814--0.58780226) × cos(-0.85366968) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		du = 401.46487840187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85360667)-sin(-0.85366968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657269238712331-0.657221749552171)×R²
    abs(-0.58780226--0.58789814)×4.74891601597305e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74891601597305e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74891601597305e-05×40589641000000     		ar = 161168.562622801m²