Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2664 / 616
↖ ↑ ↗
← N 77.312520°
E 54.140625°		 ← 2 146.47 m → N 77.312520°
E 54.228516°		 →
↑
2 148.11 m
↓
↑
2 148.11 m
↓
N 77.293202°
E 54.140625°		 ← 2 149.69 m →
4 614 308 m²		 N 77.293202°
E 54.228516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6505126953125 y=0.1505126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6505126953125 × 212)
    floor (0.6505126953125 × 4096)
    floor (2664.5)     		tx = 2664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1505126953125 × 212)
    floor (0.1505126953125 × 4096)
    floor (616.5)     		ty = 616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2664 / 616 ti = "12/2664/616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2664/616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2664 ÷ 212
    2664 ÷ 4096     		x = 0.650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 616 ÷ 212
    616 ÷ 4096     		y = 0.150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650390625 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94493217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150390625 × 2 - 1) × π
    0.69921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19666048818945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94493217} λ = 0.94493217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19666048818945))-π/2
    2×atan(8.99492462929445)-π/2
    2×1.4600771763585-π/2
    2.92015435271701-1.57079632675     		φ = 1.34935803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94493217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34935803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.312520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2664 KachelY 616 0.94493217 1.34935803 54.140625 77.312520
    Oben rechts KachelX + 1 2665 KachelY 616 0.94646615 1.34935803 54.228516 77.312520
    Unten links KachelX 2664 KachelY + 1 617 0.94493217 1.34902086 54.140625 77.293202
    Unten rechts KachelX + 1 2665 KachelY + 1 617 0.94646615 1.34902086 54.228516 77.293202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34935803-1.34902086) × R
    0.000337170000000109 × 6371000     		dl = 2148.11007000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34935803-1.34902086) × R
    0.000337170000000109 × 6371000     		dr = 2148.11007000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94493217-0.94646615) × cos(1.34935803) × R
    0.00153398000000005 × 0.219633027044924 × 6371000     		do = 2146.47062583488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94493217-0.94646615) × cos(1.34902086) × R
    0.00153398000000005 × 0.219961951726465 × 6371000     		du = 2149.68520233341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34935803)-sin(1.34902086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219633027044924-0.219961951726465)×R²
    abs(0.94646615-0.94493217)×0.000328924681540499×R²
    0.00153398000000005×0.000328924681540499×6371000²
    0.00153398000000005×0.000328924681540499×40589641000000     		ar = 4614307.84210127m²