Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26640 / 2064
↖ ↑ ↗
← N 82.653843°
E112.675781°		 ← 156.20 m → N 82.653843°
E112.686768°		 →
↑
156.22 m
↓
↑
156.22 m
↓
N 82.652438°
E112.675781°		 ← 156.23 m →
24 404 m²		 N 82.652438°
E112.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.813003540039062 y=0.0630035400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.813003540039062 × 215)
    floor (0.813003540039062 × 32768)
    floor (26640.5)     		tx = 26640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0630035400390625 × 215)
    floor (0.0630035400390625 × 32768)
    floor (2064.5)     		ty = 2064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26640 / 2064 ti = "15/26640/2064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26640/2064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26640 ÷ 215
    26640 ÷ 32768     		x = 0.81298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2064 ÷ 215
    2064 ÷ 32768     		y = 0.06298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81298828125 × 2 - 1) × π
    0.6259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96656337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06298828125 × 2 - 1) × π
    0.8740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74582561023682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96656337} λ = 1.96656337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74582561023682))-π/2
    2×atan(15.5774695429108)-π/2
    2×1.50668901424791-π/2
    3.01337802849583-1.57079632675     		φ = 1.44258170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96656337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44258170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.653843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26640 KachelY 2064 1.96656337 1.44258170 112.675781 82.653843
    Oben rechts KachelX + 1 26641 KachelY 2064 1.96675512 1.44258170 112.686768 82.653843
    Unten links KachelX 26640 KachelY + 1 2065 1.96656337 1.44255718 112.675781 82.652438
    Unten rechts KachelX + 1 26641 KachelY + 1 2065 1.96675512 1.44255718 112.686768 82.652438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44258170-1.44255718) × R
    2.45199999999723e-05 × 6371000     		dl = 156.216919999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44258170-1.44255718) × R
    2.45199999999723e-05 × 6371000     		dr = 156.216919999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96656337-1.96675512) × cos(1.44258170) × R
    0.000191749999999935 × 0.127863628915862 × 6371000     		do = 156.203227730999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96656337-1.96675512) × cos(1.44255718) × R
    0.000191749999999935 × 0.127887947611342 × 6371000     		du = 156.232936403907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44258170)-sin(1.44255718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127863628915862-0.127887947611342)×R²
    abs(1.96675512-1.96656337)×2.43186954803354e-05×R²
    0.000191749999999935×2.43186954803354e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.43186954803354e-05×40589641000000     		ar = 24403.9076293992m²