Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26655 / 43041
↖ ↑ ↗
← S 49.041469°
W 33.579712°		 ← 400.38 m → S 49.041469°
W 33.574219°		 →
↑
400.42 m
↓
↑
400.42 m
↓
S 49.045070°
W 33.579712°		 ← 400.35 m →
160 313 m²		 S 49.045070°
W 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406730651855469 y=0.656761169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406730651855469 × 216)
    floor (0.406730651855469 × 65536)
    floor (26655.5)     		tx = 26655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656761169433594 × 216)
    floor (0.656761169433594 × 65536)
    floor (43041.5)     		ty = 43041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26655 / 43041 ti = "16/26655/43041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26655/43041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26655 ÷ 216
    26655 ÷ 65536     		x = 0.406723022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43041 ÷ 216
    43041 ÷ 65536     		y = 0.656753540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.406723022460938 × 2 - 1) × π
    -0.186553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58607653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656753540039062 × 2 - 1) × π
    -0.313507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.984911539593674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58607653} λ = -0.58607653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984911539593674))-π/2
    2×atan(0.373472262983583)-π/2
    2×0.357430612124294-π/2
    0.714861224248588-1.57079632675     		φ = -0.85593510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58607653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.579712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85593510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.041469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26655 KachelY 43041 -0.58607653 -0.85593510 -33.579712 -49.041469
    Oben rechts KachelX + 1 26656 KachelY 43041 -0.58598066 -0.85593510 -33.574219 -49.041469
    Unten links KachelX 26655 KachelY + 1 43042 -0.58607653 -0.85599795 -33.579712 -49.045070
    Unten rechts KachelX + 1 26656 KachelY + 1 43042 -0.58598066 -0.85599795 -33.574219 -49.045070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85593510--0.85599795) × R
    6.28500000000587e-05 × 6371000     		dl = 400.417350000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85593510--0.85599795) × R
    6.28500000000587e-05 × 6371000     		dr = 400.417350000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58607653--0.58598066) × cos(-0.85593510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655512623675301 × 6371000     		do = 400.379093621477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58607653--0.58598066) × cos(-0.85599795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655465159052675 × 6371000     		du = 400.35010281047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85593510)-sin(-0.85599795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655512623675301-0.655465159052675)×R²
    abs(-0.58598066--0.58607653)×4.7464622626392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7464622626392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7464622626392e-05×40589641000000     		ar = 160312.931504434m²