Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26656 / 43040
↖ ↑ ↗
← S 49.037868°
W 33.574219°		 ← 400.41 m → S 49.037868°
W 33.568726°		 →
↑
400.42 m
↓
↑
400.42 m
↓
S 49.041469°
W 33.574219°		 ← 400.38 m →
160 325 m²		 S 49.041469°
W 33.568726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406745910644531 y=0.656745910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406745910644531 × 216)
    floor (0.406745910644531 × 65536)
    floor (26656.5)     		tx = 26656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656745910644531 × 216)
    floor (0.656745910644531 × 65536)
    floor (43040.5)     		ty = 43040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26656 / 43040 ti = "16/26656/43040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26656/43040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26656 ÷ 216
    26656 ÷ 65536     		x = 0.40673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43040 ÷ 216
    43040 ÷ 65536     		y = 0.65673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    -0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58598066} λ = -0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984815665794434))-π/2
    2×atan(0.37350807090484)-π/2
    2×0.357462036504608-π/2
    0.714924073009217-1.57079632675     		φ = -0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26656 KachelY 43040 -0.58598066 -0.85587225 -33.574219 -49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 26657 KachelY 43040 -0.58588479 -0.85587225 -33.568726 -49.037868
    Unten links KachelX 26656 KachelY + 1 43041 -0.58598066 -0.85593510 -33.574219 -49.041469
    Unten rechts KachelX + 1 26657 KachelY + 1 43041 -0.58588479 -0.85593510 -33.568726 -49.041469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85587225--0.85593510) × R
    6.28499999999477e-05 × 6371000     		dl = 400.417349999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85587225--0.85593510) × R
    6.28499999999477e-05 × 6371000     		dr = 400.417349999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58598066--0.58588479) × cos(-0.85587225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 400.408082850939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58598066--0.58588479) × cos(-0.85593510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.655512623675301 × 6371000     		du = 400.379093621477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85587225)-sin(-0.85593510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.655512623675301)×R²
    abs(-0.58588479--0.58598066)×4.74620332711062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74620332711062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74620332711062e-05×40589641000000     		ar = 160324.539611368m²