Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 26660 / 43044
↖ ↑ ↗
← S 49.052270°
W 33.552246°		 ← 400.33 m → S 49.052270°
W 33.546753°		 →
↑
400.29 m
↓
↑
400.29 m
↓
S 49.055870°
W 33.552246°		 ← 400.30 m →
160 244 m²		 S 49.055870°
W 33.546753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406806945800781 y=0.656806945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406806945800781 × 216)
    floor (0.406806945800781 × 65536)
    floor (26660.5)     		tx = 26660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656806945800781 × 216)
    floor (0.656806945800781 × 65536)
    floor (43044.5)     		ty = 43044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26660 / 43044 ti = "16/26660/43044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26660/43044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26660 ÷ 216
    26660 ÷ 65536     		x = 0.40679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43044 ÷ 216
    43044 ÷ 65536     		y = 0.65679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.3135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.985199160991394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58559717} λ = -0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985199160991394))-π/2
    2×atan(0.373364859815759)-π/2
    2×0.357336352633894-π/2
    0.714672705267789-1.57079632675     		φ = -0.85612362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85612362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.052270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26660 KachelY 43044 -0.58559717 -0.85612362 -33.552246 -49.052270
    Oben rechts KachelX + 1 26661 KachelY 43044 -0.58550129 -0.85612362 -33.546753 -49.052270
    Unten links KachelX 26660 KachelY + 1 43045 -0.58559717 -0.85618645 -33.552246 -49.055870
    Unten rechts KachelX + 1 26661 KachelY + 1 43045 -0.58550129 -0.85618645 -33.546753 -49.055870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85612362--0.85618645) × R
    6.28300000000692e-05 × 6371000     		dl = 400.289930000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85612362--0.85618645) × R
    6.28300000000692e-05 × 6371000     		dr = 400.289930000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58559717--0.58550129) × cos(-0.85612362) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.65537024469934 × 6371000     		do = 400.333883922755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58559717--0.58550129) × cos(-0.85618645) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.655322787417988 × 6371000     		du = 400.304894572204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85612362)-sin(-0.85618645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65537024469934-0.655322787417988)×R²
    abs(-0.58550129--0.58559717)×4.74572813520258e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74572813520258e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74572813520258e-05×40589641000000     		ar = 160243.820352278m²