Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26687 / 43071
↖ ↑ ↗
← S 49.149377°
W 33.403930°		 ← 399.51 m → S 49.149377°
W 33.398438°		 →
↑
399.53 m
↓
↑
399.53 m
↓
S 49.152970°
W 33.403930°		 ← 399.48 m →
159 608 m²		 S 49.152970°
W 33.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407218933105469 y=0.657218933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407218933105469 × 216)
    floor (0.407218933105469 × 65536)
    floor (26687.5)     		tx = 26687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657218933105469 × 216)
    floor (0.657218933105469 × 65536)
    floor (43071.5)     		ty = 43071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26687 / 43071 ti = "16/26687/43071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26687/43071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26687 ÷ 216
    26687 ÷ 65536     		x = 0.407211303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43071 ÷ 216
    43071 ÷ 65536     		y = 0.657211303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407211303710938 × 2 - 1) × π
    -0.185577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.58300857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657211303710938 × 2 - 1) × π
    -0.314422607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.987787753570877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58300857} λ = -0.58300857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987787753570877))-π/2
    2×atan(0.372399620155302)-π/2
    2×0.356488938460873-π/2
    0.712977876921746-1.57079632675     		φ = -0.85781845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58300857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.403930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85781845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.149377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26687 KachelY 43071 -0.58300857 -0.85781845 -33.403930 -49.149377
    Oben rechts KachelX + 1 26688 KachelY 43071 -0.58291270 -0.85781845 -33.398438 -49.149377
    Unten links KachelX 26687 KachelY + 1 43072 -0.58300857 -0.85788116 -33.403930 -49.152970
    Unten rechts KachelX + 1 26688 KachelY + 1 43072 -0.58291270 -0.85788116 -33.398438 -49.152970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85781845--0.85788116) × R
    6.27100000000214e-05 × 6371000     		dl = 399.525410000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85781845--0.85788116) × R
    6.27100000000214e-05 × 6371000     		dr = 399.525410000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58300857--0.58291270) × cos(-0.85781845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654089185769106 × 6371000     		do = 399.509675157019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58300857--0.58291270) × cos(-0.85788116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.654041749545626 × 6371000     		du = 399.480701691863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85781845)-sin(-0.85788116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654089185769106-0.654041749545626)×R²
    abs(-0.58291270--0.58300857)×4.74362234801351e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74362234801351e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74362234801351e-05×40589641000000     		ar = 159608.479000707m²