Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26688 / 2112
↖ ↑ ↗
← N 82.586106°
E113.203125°		 ← 157.64 m → N 82.586106°
E113.214111°		 →
↑
157.62 m
↓
↑
157.62 m
↓
N 82.584689°
E113.203125°		 ← 157.67 m →
24 849 m²		 N 82.584689°
E113.214111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.814468383789062 y=0.0644683837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.814468383789062 × 215)
    floor (0.814468383789062 × 32768)
    floor (26688.5)     		tx = 26688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0644683837890625 × 215)
    floor (0.0644683837890625 × 32768)
    floor (2112.5)     		ty = 2112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26688 / 2112 ti = "15/26688/2112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26688/2112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26688 ÷ 215
    26688 ÷ 32768     		x = 0.814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2112 ÷ 215
    2112 ÷ 32768     		y = 0.064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.814453125 × 2 - 1) × π
    0.62890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.97576725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.064453125 × 2 - 1) × π
    0.87109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.73662172550977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.97576725} λ = 1.97576725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73662172550977))-π/2
    2×atan(15.4347540846804)-π/2
    2×1.50609789949907-π/2
    3.01219579899814-1.57079632675     		φ = 1.44139947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.97576725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44139947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.586106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26688 KachelY 2112 1.97576725 1.44139947 113.203125 82.586106
    Oben rechts KachelX + 1 26689 KachelY 2112 1.97595900 1.44139947 113.214111 82.586106
    Unten links KachelX 26688 KachelY + 1 2113 1.97576725 1.44137473 113.203125 82.584689
    Unten rechts KachelX + 1 26689 KachelY + 1 2113 1.97595900 1.44137473 113.214111 82.584689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44139947-1.44137473) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dl = 157.618539999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44139947-1.44137473) × R
    2.47399999999676e-05 × 6371000     		dr = 157.618539999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.97576725-1.97595900) × cos(1.44139947) × R
    0.000191749999999935 × 0.129036065258056 × 6371000     		do = 157.635521984749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.97576725-1.97595900) × cos(1.44137473) × R
    0.000191749999999935 × 0.129060598389723 × 6371000     		du = 157.665492621319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44139947)-sin(1.44137473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129036065258056-0.129060598389723)×R²
    abs(1.97595900-1.97576725)×2.45331316663933e-05×R²
    0.000191749999999935×2.45331316663933e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.45331316663933e-05×40589641000000     		ar = 24848.642792398m²