Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26690 / 43074
↖ ↑ ↗
← S 49.160155°
W 33.387451°		 ← 399.42 m → S 49.160155°
W 33.381958°		 →
↑
399.40 m
↓
↑
399.40 m
↓
S 49.163747°
W 33.387451°		 ← 399.39 m →
159 523 m²		 S 49.163747°
W 33.381958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407264709472656 y=0.657264709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407264709472656 × 216)
    floor (0.407264709472656 × 65536)
    floor (26690.5)     		tx = 26690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657264709472656 × 216)
    floor (0.657264709472656 × 65536)
    floor (43074.5)     		ty = 43074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26690 / 43074 ti = "16/26690/43074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26690/43074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26690 ÷ 216
    26690 ÷ 65536     		x = 0.407257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43074 ÷ 216
    43074 ÷ 65536     		y = 0.657257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.407257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.18548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58272095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.31451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.988075374968597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58272095} λ = -0.58272095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988075374968597))-π/2
    2×atan(0.372292525458144)-π/2
    2×0.356394883670229-π/2
    0.712789767340458-1.57079632675     		φ = -0.85800656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58272095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85800656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.160155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26690 KachelY 43074 -0.58272095 -0.85800656 -33.387451 -49.160155
    Oben rechts KachelX + 1 26691 KachelY 43074 -0.58262508 -0.85800656 -33.381958 -49.160155
    Unten links KachelX 26690 KachelY + 1 43075 -0.58272095 -0.85806925 -33.387451 -49.163747
    Unten rechts KachelX + 1 26691 KachelY + 1 43075 -0.58262508 -0.85806925 -33.381958 -49.163747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85800656--0.85806925) × R
    6.26900000000319e-05 × 6371000     		dl = 399.397990000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85800656--0.85806925) × R
    6.26900000000319e-05 × 6371000     		dr = 399.397990000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58272095--0.58262508) × cos(-0.85800656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653946884513518 × 6371000     		do = 399.42275929045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58272095--0.58262508) × cos(-0.85806925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653899455706903 × 6371000     		du = 399.393790355424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85800656)-sin(-0.85806925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653946884513518-0.653899455706903)×R²
    abs(-0.58262508--0.58272095)×4.74288066151241e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74288066151241e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74288066151241e-05×40589641000000     		ar = 159522.862205989m²