Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26696 / 43080
↖ ↑ ↗
← S 49.181704°
W 33.354492°		 ← 399.25 m → S 49.181704°
W 33.348999°		 →
↑
399.21 m
↓
↑
399.21 m
↓
S 49.185294°
W 33.354492°		 ← 399.22 m →
159 377 m²		 S 49.185294°
W 33.348999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407356262207031 y=0.657356262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407356262207031 × 216)
    floor (0.407356262207031 × 65536)
    floor (26696.5)     		tx = 26696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657356262207031 × 216)
    floor (0.657356262207031 × 65536)
    floor (43080.5)     		ty = 43080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26696 / 43080 ti = "16/26696/43080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26696/43080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26696 ÷ 216
    26696 ÷ 65536     		x = 0.4073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43080 ÷ 216
    43080 ÷ 65536     		y = 0.6573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.58214571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.988650617764038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.58214571} λ = -0.58214571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988650617764038))-π/2
    2×atan(0.372078428449863)-π/2
    2×0.356206835479319-π/2
    0.712413670958638-1.57079632675     		φ = -0.85838266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.58214571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85838266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.181704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26696 KachelY 43080 -0.58214571 -0.85838266 -33.354492 -49.181704
    Oben rechts KachelX + 1 26697 KachelY 43080 -0.58204984 -0.85838266 -33.348999 -49.181704
    Unten links KachelX 26696 KachelY + 1 43081 -0.58214571 -0.85844532 -33.354492 -49.185294
    Unten rechts KachelX + 1 26697 KachelY + 1 43081 -0.58204984 -0.85844532 -33.348999 -49.185294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85838266--0.85844532) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dl = 399.20685999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85838266--0.85844532) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dr = 399.20685999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.58214571--0.58204984) × cos(-0.85838266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		do = 399.248940627525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.58214571--0.58204984) × cos(-0.85844532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653614881884833 × 6371000     		du = 399.219976145242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85838266)-sin(-0.85844532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653662303401283-0.653614881884833)×R²
    abs(-0.58204984--0.58214571)×4.7421516450763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7421516450763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7421516450763e-05×40589641000000     		ar = 159377.134588112m²