Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2672 / 688
↖ ↑ ↗
← N 75.845168°
E 54.843750°		 ← 2 389.92 m → N 75.845168°
E 54.931640°		 →
↑
2 391.67 m
↓
↑
2 391.67 m
↓
N 75.823660°
E 54.843750°		 ← 2 393.47 m →
5 720 153 m²		 N 75.823660°
E 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6524658203125 y=0.1680908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6524658203125 × 212)
    floor (0.6524658203125 × 4096)
    floor (2672.5)     		tx = 2672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1680908203125 × 212)
    floor (0.1680908203125 × 4096)
    floor (688.5)     		ty = 688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2672 / 688 ti = "12/2672/688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2672/688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2672 ÷ 212
    2672 ÷ 4096     		x = 0.65234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 688 ÷ 212
    688 ÷ 4096     		y = 0.16796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65234375 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16796875 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08621387146484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95720401} λ = 0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08621387146484))-π/2
    2×atan(8.05436251093064)-π/2
    2×1.44727211976903-π/2
    2.89454423953806-1.57079632675     		φ = 1.32374791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32374791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.845168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2672 KachelY 688 0.95720401 1.32374791 54.843750 75.845168
    Oben rechts KachelX + 1 2673 KachelY 688 0.95873799 1.32374791 54.931640 75.845168
    Unten links KachelX 2672 KachelY + 1 689 0.95720401 1.32337251 54.843750 75.823660
    Unten rechts KachelX + 1 2673 KachelY + 1 689 0.95873799 1.32337251 54.931640 75.823660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32374791-1.32337251) × R
    0.000375400000000026 × 6371000     		dl = 2391.67340000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32374791-1.32337251) × R
    0.000375400000000026 × 6371000     		dr = 2391.67340000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95720401-0.95873799) × cos(1.32374791) × R
    0.00153398000000005 × 0.244543060104282 × 6371000     		do = 2389.91604463135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95720401-0.95873799) × cos(1.32337251) × R
    0.00153398000000005 × 0.24490704513254 × 6371000     		du = 2393.47326542784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32374791)-sin(1.32337251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244543060104282-0.24490704513254)×R²
    abs(0.95873799-0.95720401)×0.000363985028258379×R²
    0.00153398000000005×0.000363985028258379×6371000²
    0.00153398000000005×0.000363985028258379×40589641000000     		ar = 5720152.55453368m²