Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26753 / 43137
↖ ↑ ↗
← S 49.385949°
W 33.041382°		 ← 397.60 m → S 49.385949°
W 33.035889°		 →
↑
397.61 m
↓
↑
397.61 m
↓
S 49.389525°
W 33.041382°		 ← 397.57 m →
158 085 m²		 S 49.389525°
W 33.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408226013183594 y=0.658226013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408226013183594 × 216)
    floor (0.408226013183594 × 65536)
    floor (26753.5)     		tx = 26753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658226013183594 × 216)
    floor (0.658226013183594 × 65536)
    floor (43137.5)     		ty = 43137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26753 / 43137 ti = "16/26753/43137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26753/43137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26753 ÷ 216
    26753 ÷ 65536     		x = 0.408218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43137 ÷ 216
    43137 ÷ 65536     		y = 0.658218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.183563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57668090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.316436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.994115424320725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57668090} λ = -0.57668090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994115424320725))-π/2
    2×atan(0.370050637603337)-π/2
    2×0.354424458457432-π/2
    0.708848916914865-1.57079632675     		φ = -0.86194741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57668090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.041382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86194741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.385949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26753 KachelY 43137 -0.57668090 -0.86194741 -33.041382 -49.385949
    Oben rechts KachelX + 1 26754 KachelY 43137 -0.57658503 -0.86194741 -33.035889 -49.385949
    Unten links KachelX 26753 KachelY + 1 43138 -0.57668090 -0.86200982 -33.041382 -49.389525
    Unten rechts KachelX + 1 26754 KachelY + 1 43138 -0.57658503 -0.86200982 -33.035889 -49.389525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86194741--0.86200982) × R
    6.24100000000682e-05 × 6371000     		dl = 397.614110000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86194741--0.86200982) × R
    6.24100000000682e-05 × 6371000     		dr = 397.614110000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57668090--0.57658503) × cos(-0.86194741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65096040175807 × 6371000     		do = 397.598652148107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57668090--0.57658503) × cos(-0.86200982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650913024329885 × 6371000     		du = 397.569714594397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86194741)-sin(-0.86200982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65096040175807-0.650913024329885)×R²
    abs(-0.57658503--0.57668090)×4.73774281852801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73774281852801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73774281852801e-05×40589641000000     		ar = 158085.081272893m²