Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26754 / 43138
↖ ↑ ↗
← S 49.389525°
W 33.035889°		 ← 397.61 m → S 49.389525°
W 33.030395°		 →
↑
397.55 m
↓
↑
397.55 m
↓
S 49.393100°
W 33.035889°		 ← 397.58 m →
158 065 m²		 S 49.393100°
W 33.030395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408241271972656 y=0.658241271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408241271972656 × 216)
    floor (0.408241271972656 × 65536)
    floor (26754.5)     		tx = 26754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658241271972656 × 216)
    floor (0.658241271972656 × 65536)
    floor (43138.5)     		ty = 43138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26754 / 43138 ti = "16/26754/43138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26754/43138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26754 ÷ 216
    26754 ÷ 65536     		x = 0.408233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43138 ÷ 216
    43138 ÷ 65536     		y = 0.658233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.18353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57658503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.31646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994211298119965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57658503} λ = -0.57658503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994211298119965))-π/2
    2×atan(0.370015161143457)-π/2
    2×0.354393254569519-π/2
    0.708786509139038-1.57079632675     		φ = -0.86200982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57658503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86200982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.389525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26754 KachelY 43138 -0.57658503 -0.86200982 -33.035889 -49.389525
    Oben rechts KachelX + 1 26755 KachelY 43138 -0.57648915 -0.86200982 -33.030395 -49.389525
    Unten links KachelX 26754 KachelY + 1 43139 -0.57658503 -0.86207222 -33.035889 -49.393100
    Unten rechts KachelX + 1 26755 KachelY + 1 43139 -0.57648915 -0.86207222 -33.030395 -49.393100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86200982--0.86207222) × R
    6.2399999999907e-05 × 6371000     		dl = 397.550399999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86200982--0.86207222) × R
    6.2399999999907e-05 × 6371000     		dr = 397.550399999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57658503--0.57648915) × cos(-0.86200982) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.650913024329885 × 6371000     		do = 397.611184263386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57658503--0.57648915) × cos(-0.86207222) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.650865651958317 × 6371000     		du = 397.582246780103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86200982)-sin(-0.86207222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650913024329885-0.650865651958317)×R²
    abs(-0.57648915--0.57658503)×4.73723715673779e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73723715673779e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73723715673779e-05×40589641000000     		ar = 158064.733345554m²