Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26768 / 43152
↖ ↑ ↗
← S 49.439557°
W 32.958985°		 ← 397.21 m → S 49.439557°
W 32.953491°		 →
↑
397.17 m
↓
↑
397.17 m
↓
S 49.443129°
W 32.958985°		 ← 397.18 m →
157 752 m²		 S 49.443129°
W 32.953491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408454895019531 y=0.658454895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408454895019531 × 216)
    floor (0.408454895019531 × 65536)
    floor (26768.5)     		tx = 26768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658454895019531 × 216)
    floor (0.658454895019531 × 65536)
    floor (43152.5)     		ty = 43152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26768 / 43152 ti = "16/26768/43152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26768/43152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26768 ÷ 216
    26768 ÷ 65536     		x = 0.408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43152 ÷ 216
    43152 ÷ 65536     		y = 0.658447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.31689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.995553531309326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57524280} λ = -0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995553531309326))-π/2
    2×atan(0.369518847672323)-π/2
    2×0.353956638576303-π/2
    0.707913277152607-1.57079632675     		φ = -0.86288305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86288305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.439557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26768 KachelY 43152 -0.57524280 -0.86288305 -32.958985 -49.439557
    Oben rechts KachelX + 1 26769 KachelY 43152 -0.57514692 -0.86288305 -32.953491 -49.439557
    Unten links KachelX 26768 KachelY + 1 43153 -0.57524280 -0.86294539 -32.958985 -49.443129
    Unten rechts KachelX + 1 26769 KachelY + 1 43153 -0.57514692 -0.86294539 -32.953491 -49.443129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86288305--0.86294539) × R
    6.23400000000496e-05 × 6371000     		dl = 397.168140000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86288305--0.86294539) × R
    6.23400000000496e-05 × 6371000     		dr = 397.168140000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57524280--0.57514692) × cos(-0.86288305) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.650249861669064 × 6371000     		do = 397.206090370542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57524280--0.57514692) × cos(-0.86294539) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.650202499434552 × 6371000     		du = 397.177159079495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86288305)-sin(-0.86294539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650249861669064-0.650202499434552)×R²
    abs(-0.57514692--0.57524280)×4.73622345115166e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73622345115166e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73622345115166e-05×40589641000000     		ar = 157751.858866625m²