Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 268 / 284
↖ ↑ ↗
← S 19.311143°
E  8.437500°		 ← 73.785 km → S 19.311143°
E  9.140625°		 →
↑
73.634 km
↓
↑
73.634 km
↓
S 19.973349°
E  8.437500°		 ← 73.481 km →
5 421.96 km²		 S 19.973349°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5244140625 y=0.5556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5244140625 × 29)
    floor (0.5244140625 × 512)
    floor (268.5)     		tx = 268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5556640625 × 29)
    floor (0.5556640625 × 512)
    floor (284.5)     		ty = 284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 268 / 284 ti = "9/268/284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/268/284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 268 ÷ 29
    268 ÷ 512     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 284 ÷ 29
    284 ÷ 512     		y = 0.5546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5546875 × 2 - 1) × π
    -0.109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.343611696476563))-π/2
    2×atan(0.709204261103077)-π/2
    2×0.616876646466831-π/2
    1.23375329293366-1.57079632675     		φ = -0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 268 KachelY 284 0.14726216 -0.33704303 8.437500 -19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 269 KachelY 284 0.15953400 -0.33704303 9.140625 -19.311143
    Unten links KachelX 268 KachelY + 1 285 0.14726216 -0.34860070 8.437500 -19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 269 KachelY + 1 285 0.15953400 -0.34860070 9.140625 -19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33704303--0.34860070) × R
    0.01155767 × 6371000     		dl = 73633.9155699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33704303--0.34860070) × R
    0.01155767 × 6371000     		dr = 73633.9155699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.15953400) × cos(-0.33704303) × R
    0.01227184 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 73785.0052252422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.15953400) × cos(-0.34860070) × R
    0.01227184 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 73481.2573681431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33704303)-sin(-0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.939851609928014)×R²
    abs(0.15953400-0.14726216)×0.00388504392455591×R²
    0.01227184×0.00388504392455591×6371000²
    0.01227184×0.00388504392455591×40589641000000     		ar = 5421956128.47869m²