Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2684 / 652
↖ ↑ ↗
← N 76.598545°
E 55.898437°		 ← 2 265.11 m → N 76.598545°
E 55.986328°		 →
↑
2 266.80 m
↓
↑
2 266.80 m
↓
N 76.578159°
E 55.898437°		 ← 2 268.49 m →
5 138 390 m²		 N 76.578159°
E 55.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6553955078125 y=0.1593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6553955078125 × 212)
    floor (0.6553955078125 × 4096)
    floor (2684.5)     		tx = 2684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1593017578125 × 212)
    floor (0.1593017578125 × 4096)
    floor (652.5)     		ty = 652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2684 / 652 ti = "12/2684/652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2684/652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2684 ÷ 212
    2684 ÷ 4096     		x = 0.6552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 652 ÷ 212
    652 ÷ 4096     		y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97561178} λ = 0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675     		φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2684 KachelY 652 0.97561178 1.33689681 55.898437 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 2685 KachelY 652 0.97714576 1.33689681 55.986328 76.598545
    Unten links KachelX 2684 KachelY + 1 653 0.97561178 1.33654101 55.898437 76.578159
    Unten rechts KachelX + 1 2685 KachelY + 1 653 0.97714576 1.33654101 55.986328 76.578159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33689681-1.33654101) × R
    0.000355800000000128 × 6371000     		dl = 2266.80180000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33689681-1.33654101) × R
    0.000355800000000128 × 6371000     		dr = 2266.80180000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97561178-0.97714576) × cos(1.33689681) × R
    0.00153397999999993 × 0.231772609035297 × 6371000     		do = 2265.11059771345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97561178-0.97714576) × cos(1.33654101) × R
    0.00153397999999993 × 0.232118705920746 × 6371000     		du = 2268.49299793032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33654101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231772609035297-0.232118705920746)×R²
    abs(0.97714576-0.97561178)×0.000346096885448982×R²
    0.00153397999999993×0.000346096885448982×6371000²
    0.00153397999999993×0.000346096885448982×40589641000000     		ar = 5138390.44976063m²