Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2687 / 895
↖ ↑ ↗
← N 70.641769°
E 56.162109°		 ← 3 239.49 m → N 70.641769°
E 56.250000°		 →
↑
3 241.82 m
↓
↑
3 241.82 m
↓
N 70.612614°
E 56.162109°		 ← 3 244.18 m →
10 509 432 m²		 N 70.612614°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6561279296875 y=0.2186279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6561279296875 × 212)
    floor (0.6561279296875 × 4096)
    floor (2687.5)     		tx = 2687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2186279296875 × 212)
    floor (0.2186279296875 × 4096)
    floor (895.5)     		ty = 895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2687 / 895 ti = "12/2687/895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2687/895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2687 ÷ 212
    2687 ÷ 4096     		x = 0.656005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 895 ÷ 212
    895 ÷ 4096     		y = 0.218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656005859375 × 2 - 1) × π
    0.31201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98021372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98021372} λ = 0.98021372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76867984838159))-π/2
    2×atan(5.86310805842813)-π/2
    2×1.40186389032552-π/2
    2.80372778065105-1.57079632675     		φ = 1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98021372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2687 KachelY 895 0.98021372 1.23293145 56.162109 70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 2688 KachelY 895 0.98174770 1.23293145 56.250000 70.641769
    Unten links KachelX 2687 KachelY + 1 896 0.98021372 1.23242261 56.162109 70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 2688 KachelY + 1 896 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23293145-1.23242261) × R
    0.000508839999999955 × 6371000     		dl = 3241.81963999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23293145-1.23242261) × R
    0.000508839999999955 × 6371000     		dr = 3241.81963999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98021372-0.98174770) × cos(1.23293145) × R
    0.00153398000000005 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 3239.48544326784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98021372-0.98174770) × cos(1.23242261) × R
    0.00153398000000005 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 3244.17676581095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23293145)-sin(1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331953465734817)×R²
    abs(0.98174770-0.98021372)×0.000480029569744023×R²
    0.00153398000000005×0.000480029569744023×6371000²
    0.00153398000000005×0.000480029569744023×40589641000000     		ar = 10509431.9710154m²