Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2688 / 3712
↖ ↑ ↗
← S 81.093214°
E 56.250000°		 ← 1 513.14 m → S 81.093214°
E 56.337891°		 →
↑
1 512.03 m
↓
↑
1 512.03 m
↓
S 81.106812°
E 56.250000°		 ← 1 510.84 m →
2 286 174 m²		 S 81.106812°
E 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6563720703125 y=0.9063720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6563720703125 × 212)
    floor (0.6563720703125 × 4096)
    floor (2688.5)     		tx = 2688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9063720703125 × 212)
    floor (0.9063720703125 × 4096)
    floor (3712.5)     		ty = 3712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2688 / 3712 ti = "12/2688/3712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2688/3712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2688 ÷ 212
    2688 ÷ 4096     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3712 ÷ 212
    3712 ÷ 4096     		y = 0.90625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90625 × 2 - 1) × π
    -0.8125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55254403096875))-π/2
    2×atan(0.0778832762865433)-π/2
    2×0.0777263720271503-π/2
    0.155452744054301-1.57079632675     		φ = -1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2688 KachelY 3712 0.98174770 -1.41534358 56.250000 -81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 2689 KachelY 3712 0.98328169 -1.41534358 56.337891 -81.093214
    Unten links KachelX 2688 KachelY + 1 3713 0.98174770 -1.41558091 56.250000 -81.106812
    Unten rechts KachelX + 1 2689 KachelY + 1 3713 0.98328169 -1.41558091 56.337891 -81.106812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41534358--1.41558091) × R
    0.000237330000000036 × 6371000     		dl = 1512.02943000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41534358--1.41558091) × R
    0.000237330000000036 × 6371000     		dr = 1512.02943000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98328169) × cos(-1.41534358) × R
    0.00153398999999999 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 1513.13599097439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98328169) × cos(-1.41558091) × R
    0.00153398999999999 × 0.15459292998482 × 6371000     		du = 1510.84447922008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41534358)-sin(-1.41558091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.15459292998482)×R²
    abs(0.98328169-0.98174770)×0.000234472522530588×R²
    0.00153398999999999×0.000234472522530588×6371000²
    0.00153398999999999×0.000234472522530588×40589641000000     		ar = 2286173.74406994m²