Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2688 / 640
↖ ↑ ↗
← N 76.840817°
E 56.250000°		 ← 2 224.91 m → N 76.840817°
E 56.337891°		 →
↑
2 226.60 m
↓
↑
2 226.60 m
↓
N 76.820792°
E 56.250000°		 ← 2 228.23 m →
4 957 680 m²		 N 76.820792°
E 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6563720703125 y=0.1563720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6563720703125 × 212)
    floor (0.6563720703125 × 4096)
    floor (2688.5)     		tx = 2688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1563720703125 × 212)
    floor (0.1563720703125 × 4096)
    floor (640.5)     		ty = 640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2688 / 640 ti = "12/2688/640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2688/640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2688 ÷ 212
    2688 ÷ 4096     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 640 ÷ 212
    640 ÷ 4096     		y = 0.15625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15625 × 2 - 1) × π
    0.6875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15984494928125))-π/2
    2×atan(8.66979329656196)-π/2
    2×1.45596078656658-π/2
    2.91192157313317-1.57079632675     		φ = 1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2688 KachelY 640 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 2689 KachelY 640 0.98328169 1.34112525 56.337891 76.840817
    Unten links KachelX 2688 KachelY + 1 641 0.98174770 1.34077576 56.250000 76.820792
    Unten rechts KachelX + 1 2689 KachelY + 1 641 0.98328169 1.34077576 56.337891 76.820792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34112525-1.34077576) × R
    0.000349489999999841 × 6371000     		dl = 2226.60078999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34112525-1.34077576) × R
    0.000349489999999841 × 6371000     		dr = 2226.60078999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98328169) × cos(1.34112525) × R
    0.00153398999999999 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 2224.90575056393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98328169) × cos(1.34077576) × R
    0.00153398999999999 × 0.227997548684014 × 6371000     		du = 2228.23150928557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34112525)-sin(1.34077576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.227997548684014)×R²
    abs(0.98328169-0.98174770)×0.00034029894689569×R²
    0.00153398999999999×0.00034029894689569×6371000²
    0.00153398999999999×0.00034029894689569×40589641000000     		ar = 4957679.52083789m²