Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2688 / 896
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 56.250000°		 ← 3 244.20 m → N 70.612614°
E 56.337891°		 →
↑
3 246.53 m
↓
↑
3 246.53 m
↓
N 70.583417°
E 56.250000°		 ← 3 248.90 m →
10 540 025 m²		 N 70.583417°
E 56.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6563720703125 y=0.2188720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6563720703125 × 212)
    floor (0.6563720703125 × 4096)
    floor (2688.5)     		tx = 2688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2188720703125 × 212)
    floor (0.2188720703125 × 4096)
    floor (896.5)     		ty = 896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2688 / 896 ti = "12/2688/896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2688/896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2688 ÷ 212
    2688 ÷ 4096     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 896 ÷ 212
    896 ÷ 4096     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2688 KachelY 896 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 2689 KachelY 896 0.98328169 1.23242261 56.337891 70.612614
    Unten links KachelX 2688 KachelY + 1 897 0.98174770 1.23191303 56.250000 70.583417
    Unten rechts KachelX + 1 2689 KachelY + 1 897 0.98328169 1.23191303 56.337891 70.583417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.23191303) × R
    0.000509579999999898 × 6371000     		dl = 3246.53417999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.23191303) × R
    0.000509579999999898 × 6371000     		dr = 3246.53417999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98328169) × cos(1.23242261) × R
    0.00153398999999999 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 3244.19791456612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98328169) × cos(1.23191303) × R
    0.00153398999999999 × 0.332434107269476 × 6371000     		du = 3248.89524845581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.23191303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.332434107269476)×R²
    abs(0.98328169-0.98174770)×0.000480641534659043×R²
    0.00153398999999999×0.000480641534659043×6371000²
    0.00153398999999999×0.000480641534659043×40589641000000     		ar = 10540024.6719155m²