Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2689 / 639
↖ ↑ ↗
← N 76.860811°
E 56.337891°		 ← 2 221.57 m → N 76.860811°
E 56.425781°		 →
↑
2 223.22 m
↓
↑
2 223.22 m
↓
N 76.840817°
E 56.337891°		 ← 2 224.89 m →
4 942 740 m²		 N 76.840817°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6566162109375 y=0.1561279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6566162109375 × 212)
    floor (0.6566162109375 × 4096)
    floor (2689.5)     		tx = 2689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1561279296875 × 212)
    floor (0.1561279296875 × 4096)
    floor (639.5)     		ty = 639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2689 / 639 ti = "12/2689/639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2689/639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2689 ÷ 212
    2689 ÷ 4096     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 639 ÷ 212
    639 ÷ 4096     		y = 0.156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156005859375 × 2 - 1) × π
    0.68798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16137893006909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16137893006909))-π/2
    2×atan(8.68310279856375)-π/2
    2×1.45613526714612-π/2
    2.91227053429225-1.57079632675     		φ = 1.34147421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34147421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.860811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2689 KachelY 639 0.98328169 1.34147421 56.337891 76.860811
    Oben rechts KachelX + 1 2690 KachelY 639 0.98481567 1.34147421 56.425781 76.860811
    Unten links KachelX 2689 KachelY + 1 640 0.98328169 1.34112525 56.337891 76.840817
    Unten rechts KachelX + 1 2690 KachelY + 1 640 0.98481567 1.34112525 56.425781 76.840817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34147421-1.34112525) × R
    0.000348959999999954 × 6371000     		dl = 2223.22415999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34147421-1.34112525) × R
    0.000348959999999954 × 6371000     		dr = 2223.22415999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98481567) × cos(1.34147421) × R
    0.00153398000000005 × 0.227317439108434 × 6371000     		do = 2221.57028180676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98481567) × cos(1.34112525) × R
    0.00153398000000005 × 0.227657249737119 × 6371000     		du = 2224.89124652063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34147421)-sin(1.34112525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227317439108434-0.227657249737119)×R²
    abs(0.98481567-0.98328169)×0.000339810628684156×R²
    0.00153398000000005×0.000339810628684156×6371000²
    0.00153398000000005×0.000339810628684156×40589641000000     		ar = 4942740.39830204m²