Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2689 / 897
↖ ↑ ↗
← N 70.583417°
E 56.337891°		 ← 3 248.87 m → N 70.583417°
E 56.425781°		 →
↑
3 251.19 m
↓
↑
3 251.19 m
↓
N 70.554179°
E 56.337891°		 ← 3 253.58 m →
10 570 336 m²		 N 70.554179°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6566162109375 y=0.2191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6566162109375 × 212)
    floor (0.6566162109375 × 4096)
    floor (2689.5)     		tx = 2689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2191162109375 × 212)
    floor (0.2191162109375 × 4096)
    floor (897.5)     		ty = 897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2689 / 897 ti = "12/2689/897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2689/897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2689 ÷ 212
    2689 ÷ 4096     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 897 ÷ 212
    897 ÷ 4096     		y = 0.218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    0.56201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76561188680591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76561188680591))-π/2
    2×atan(5.84514783291905)-π/2
    2×1.40135467993365-π/2
    2.80270935986731-1.57079632675     		φ = 1.23191303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23191303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.583417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2689 KachelY 897 0.98328169 1.23191303 56.337891 70.583417
    Oben rechts KachelX + 1 2690 KachelY 897 0.98481567 1.23191303 56.425781 70.583417
    Unten links KachelX 2689 KachelY + 1 898 0.98328169 1.23140272 56.337891 70.554179
    Unten rechts KachelX + 1 2690 KachelY + 1 898 0.98481567 1.23140272 56.425781 70.554179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23191303-1.23140272) × R
    0.000510310000000125 × 6371000     		dl = 3251.1850100008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23191303-1.23140272) × R
    0.000510310000000125 × 6371000     		dr = 3251.1850100008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98481567) × cos(1.23191303) × R
    0.00153398000000005 × 0.332434107269476 × 6371000     		do = 3248.87406907896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98481567) × cos(1.23140272) × R
    0.00153398000000005 × 0.332915350838873 × 6371000     		du = 3253.5772560244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23191303)-sin(1.23140272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332434107269476-0.332915350838873)×R²
    abs(0.98481567-0.98328169)×0.00048124356939766×R²
    0.00153398000000005×0.00048124356939766×6371000²
    0.00153398000000005×0.00048124356939766×40589641000000     		ar = 10570336.3676103m²