Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2690 / 643
↖ ↑ ↗
← N 76.780655°
E 56.425781°		 ← 2 234.88 m → N 76.780655°
E 56.513672°		 →
↑
2 236.54 m
↓
↑
2 236.54 m
↓
N 76.760541°
E 56.425781°		 ← 2 238.22 m →
5 002 138 m²		 N 76.760541°
E 56.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6568603515625 y=0.1571044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6568603515625 × 212)
    floor (0.6568603515625 × 4096)
    floor (2690.5)     		tx = 2690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1571044921875 × 212)
    floor (0.1571044921875 × 4096)
    floor (643.5)     		ty = 643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2690 / 643 ti = "12/2690/643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2690/643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2690 ÷ 212
    2690 ÷ 4096     		x = 0.65673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 643 ÷ 212
    643 ÷ 4096     		y = 0.156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    0.68603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15524300691772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98481567} λ = 0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15524300691772))-π/2
    2×atan(8.62998707073689)-π/2
    2×1.45543577845478-π/2
    2.91087155690956-1.57079632675     		φ = 1.34007523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34007523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.780655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2690 KachelY 643 0.98481567 1.34007523 56.425781 76.780655
    Oben rechts KachelX + 1 2691 KachelY 643 0.98634965 1.34007523 56.513672 76.780655
    Unten links KachelX 2690 KachelY + 1 644 0.98481567 1.33972418 56.425781 76.760541
    Unten rechts KachelX + 1 2691 KachelY + 1 644 0.98634965 1.33972418 56.513672 76.760541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34007523-1.33972418) × R
    0.00035105000000013 × 6371000     		dl = 2236.53955000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34007523-1.33972418) × R
    0.00035105000000013 × 6371000     		dr = 2236.53955000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98481567-0.98634965) × cos(1.34007523) × R
    0.00153397999999993 × 0.228679571919137 × 6371000     		do = 2234.88238748578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98481567-0.98634965) × cos(1.33972418) × R
    0.00153397999999993 × 0.229021305609969 × 6371000     		du = 2238.22214626021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34007523)-sin(1.33972418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228679571919137-0.229021305609969)×R²
    abs(0.98634965-0.98481567)×0.000341733690831847×R²
    0.00153397999999993×0.000341733690831847×6371000²
    0.00153397999999993×0.000341733690831847×40589641000000     		ar = 5002137.65187785m²