Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2690 / 898
↖ ↑ ↗
← N 70.554179°
E 56.425781°		 ← 3 253.58 m → N 70.554179°
E 56.513672°		 →
↑
3 255.96 m
↓
↑
3 255.96 m
↓
N 70.524897°
E 56.425781°		 ← 3 258.29 m →
10 601 195 m²		 N 70.524897°
E 56.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6568603515625 y=0.2193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6568603515625 × 212)
    floor (0.6568603515625 × 4096)
    floor (2690.5)     		tx = 2690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2193603515625 × 212)
    floor (0.2193603515625 × 4096)
    floor (898.5)     		ty = 898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2690 / 898 ti = "12/2690/898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2690/898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2690 ÷ 212
    2690 ÷ 4096     		x = 0.65673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 898 ÷ 212
    898 ÷ 4096     		y = 0.21923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21923828125 × 2 - 1) × π
    0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98481567} λ = 0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76407790601807))-π/2
    2×atan(5.83618836202624)-π/2
    2×1.40109952165098-π/2
    2.80219904330195-1.57079632675     		φ = 1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2690 KachelY 898 0.98481567 1.23140272 56.425781 70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 2691 KachelY 898 0.98634965 1.23140272 56.513672 70.554179
    Unten links KachelX 2690 KachelY + 1 899 0.98481567 1.23089166 56.425781 70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 2691 KachelY + 1 899 0.98634965 1.23089166 56.513672 70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23140272-1.23089166) × R
    0.000511060000000008 × 6371000     		dl = 3255.96326000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23140272-1.23089166) × R
    0.000511060000000008 × 6371000     		dr = 3255.96326000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98481567-0.98634965) × cos(1.23140272) × R
    0.00153397999999993 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 3253.57725602416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98481567-0.98634965) × cos(1.23089166) × R
    0.00153397999999993 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 3258.28650606551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23140272)-sin(1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.333397214801624)×R²
    abs(0.98634965-0.98481567)×0.00048186396275085×R²
    0.00153397999999993×0.00048186396275085×6371000²
    0.00153397999999993×0.00048186396275085×40589641000000     		ar = 10601194.8124796m²